Mathc initiation/a613
Résoudre un sytème d'équations différentielles
modifier X_1' + 3 X_1 + X_2 = e^(-5t)
X_2' + X_1 + 5 X_2 = e^(-3t)
Avec X_1(0) = 0 et X_2(0) = 0
Ecrivons la transformé de Laplace du système :
sx_1(s) + 3x_1(s) + x_2(s) = 1/(s+5)
sx_2(s) + x_1(s) + 5 x_2(s) = 1/(s+3)
(s+3)x_1(s) + x_2(s) = 1/(s+5)
x_1(s) + (s+5)x_2(s) = 1/(s+3)
Utilisons l'algorithme de Cramer pour resoudre le système :
|1/(s+5) 1 |
|1/(s+3) (s+5)| 1 - 1/(s+3) ((s+3)-1)/(s+3) s+2
x_1(s) = ------------- = ------------ = --------------- = -------------------
|(s+3) 1 | (s+3)(s+5)-1 (s+3)(s+5)-1 (s+3)((s+3)(s+5)-1)
| 1 (s+5)|
|(s+3) 1/(s+5)|
| 1 1/(s+3)| 1 - 1/(s+5) ((s+5)-1)/(s+5) s+4
x_2(s) = -------------- = ------------ = --------------- = -------------------
|(s+3) 1 | (s+3)(s+5)-1 (s+3)(s+5)-1 (s+5)((s+3)(s+5)-1)
| 1 (s+5) |
s+2
x_1(s) = -----------------------
s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42
s+4
x_2(s) = ------------------------
s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70
Méthodes pour les fractions partielles pour x_1(s) avec octave
s+2 N
x_1(s) = ----------------------- = -
s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42 D
Commande :
N = [1,2];
D = [1,11,38,42];
[r, p, k, e] = residue (N, D)
Résultat
r = [-0.5000, 1.0000, -0.5000] Numérateur
p = [-5.4142, -3.0000, -2.5858] Dénominateur (s-p)
k = [](0x0)
e = [ 1, 1, 1] Puissance de (s-p)^e
s+2 -0.5 1.0 -0.5
x_1(s) = ----------------------- = ----------- + -------- + -----------
s^3 + 11 s^2+ 38 s + 42 s-(-5.4142) s-(-3.0) s-(-2.5858)
Utilisons la méthode inverse de la transformé de Laplace
X_1(t) = -0.5*exp(-5.4142*t) + exp(-3*t)- 0.5*exp(-2.5858*t)
Méthodes pour les fractions partielles pour x_2(s) avec octave
s+4
x_2(s) = ------------------------
s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70
Commande :
N = [1,4];
D = [1,13,54,70];
[r, p, k, e] = residue (N, D)
Résultat
r = [-1.2071, 1.0000, 0.2071] Numérateur
p = [-5.4142, -5.0000, -2.5858] Dénominateur (s-p)
k = [](0x0)
e = [ 1, 1, 1] Puissance de (s-p)^e
s+4 -1.2071 1.0000 0.2071
x_2(s) = ------------------------ = ----------- + -------- + -----------
s^3 + 13 s^2 + 54 s + 70 s-(-5.4142) s-(-5.0) s-(-2.5858)
Utilisons la méthode inverse de la transformé de Laplace
X_2(t) = -1.2071*exp(-5.4142*t) + exp(-5*t)- 0.2071*exp(-2.5858*t)
Dessiner les fonctions X_1(t) et X_2(t)
plot [-.5:10] [-.5:.1]\
-0.5*exp(-5.4142*x) + exp(-3*x)- 0.5*exp(-2.5858*x),\
-1.2071*exp(-5.4142*x) + exp(-5*x)- 0.2071*exp(-2.5858*x)
reset
.