Sommaire

 Évaluer l'intégrale impropre suivante :  
  
          /oo                                                     
   ***   |    exp(-3 t) sin(t) / t dt =                             
         /0        
          
 Écrivons la définition de Laplace de :         
          
                 /oo                                                   
  L{sin(t)/t} = |    exp(-s t) [sin(t)/t] dt                             
               /0           

 Utilisons la propriété de la division par t
 
                  /+oo
  L{  F(t)/t} =  |  f(u) du                  f(s) = 1/(s^2+1)
                /s
              
                  /+oo              
  L{sin(t)/t} =  |  1/(u^2+1) du  = PI/2 - atan(s)
                 /s  
                 
  Posons s = 3 ***                
    
       PI/2 - atan(3) = 0.321750554
    

  Vérifions avec mathématica : 
 
  integrate exp(-3*t) * sin(t)/t dt from t=0  to infinity
  
        tan^(-1)(1/3) = 0.321750554
  
  integrate 1/(u^2+1) dt from u=s  to infinity

     π/2 - tan^(-1)(s)  
  integrate 1/(u^2+1) dt from u=3  to infinity

     π/2 - tan^(-1)(3)   = 0.321750554