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La transformée de Laplace changement d'échelle

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   Si L{F(t)} = f(s)  alors   L{F(a t)}  =  1/a  f(s/a) 
 
 
    L{F(a t)}    =   1/a  f(s/a)                                         
       
    (a t)            1/a  1/(s/a)^2                     
    (a t)^2          1/a  2/(s/a)^3                           
    (a t)^3          1/a  6/(s/a)^4                       
    (a t)^4          1/a 24/(s/a)^5                        
        
    (a t)^n          1/a n!/(s/a)^(n+1)                   
          
    sin(a t)         1/a     1/((s/a)^2+1)                 
    cos(a t)         1/a (s/a)/((s/a)^2+1)                
        
    sinh(a t)        1/a     1/((s/a)^2-1)                 
    cosh(a t)        1/a (s/a)/((s/a)^2-1)                 
         
    exp(a t)         1/a     1/((s/a)-1)                 


Les fonctions :


La transformée de Laplace changement d'échelle

Présentation du problème :  

* Soit  F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
              /+oo
             |
   L{F(t)} = |  exp(-s t) F(t) dt = f(s)
             |
             /0
* La propriété de changement d'échelle de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
                                          
           L{F(a t)} = 1/a f(s/a)                                                                    
* c00a.c

* Nous obtenons donc :
              /+oo
             |                              
             |  exp(-s t) [F(a t)] dt = 1/a f(s/a) 
             |                              
             /0
* c00b.c
           
* Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, 
si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace d'un changement d'échelle "a", il suffit d'utiliser l'équation ci-dessus, sans passer par le calcul de l'intégrale.  

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