Mathc initiation/a00l

Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométries hyperboliques inverses

Vérifions si : asinh(X) = ln(X+sqrt(X**2+1)) ... ... ... -oo < X < +oo

  Posons (1) :  Y  = asinh(X)                           (1)
  
  
  Introduisons sinh() :
  
       sinh(Y) = sinh(asinh(X))
       
       sinh(Y) = X 
       
       
   Introduisons la définition de sinh(Y) :       
       
       X = sinh(Y) = (e**(Y)-e**(-Y))/2
       
       
   Soit :  

       X = (e**(Y)-e**(-Y))/2
              
    (2X) =  e**(Y)-e**(-Y)
     
       0 =  e**(Y)-e**(-Y)-(2X)  
  
  Multiplions par e**(Y)
  
       0 =  e**(2Y)-(1)-(2X)e**(Y)
       
       
  Soit :   e**(2Y)-(2X)e**(Y)-(1) = 0
  
  
   Posons (2) x = e**(Y)                               (2)   
      
      Nous avons
      
            x**2 - (2X)x - 1 = 0
        
        
        Soit a = (1), b = (-2X), c = (-1)
        
        
        Calculons delta = b**2 - 4ac   
        
                  delta = (-2X)**2 - 4(1)(-1)
                  
                  delta =  4X**2 + 4
                  
       Calculons les racines : 
                  
              x = (-b +/- sqrt(delta)) / 2a
            
              x = (-(-2X) +/- sqrt(4X**2+4)) / 2(1)
              
              x =   ((2X) +/- 2sqrt(X**2+1)) / 2 
       
              x =     (X) +/- sqrt(X**2+1) 
       
    avec x = e**(Y) voir (2)
    
         e**(Y) =  X +/- sqrt(X**2+1)
         
         
     Prenons la valeur positive :
         
      ln(e**(Y)) =  ln(X+sqrt(X**2+1))
    
               Y =  ln(X+sqrt(X**2+1))   
               
               
    avec Y = asinh(X)        voir (1)        
                      
                       
        asinh(X) =  ln(X+sqrt(X**2+1))

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