Mathc initiation/a00ao

Sommaire

Calculons la primitive :

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Calculer la primitive de   | atanh(x) dx 
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       Utilisons l'intégration par partie
       
        u = ...    dv = ...
       du = ...     v = ...
       
        /              /
       | u dv = u v - | v du
       /              /
       
       Nous savons que la dérivé de atanh(x) est 1/(1-x**2).
       Nous ne connaissons pas sa primitive. 
       Nous allons multiplier atan(x) par 1. 
       Nous allons poser que u = atan(x) et dv = 1 dx.
       
       
        /               
       | (atanh(x)*1)  dx = 
       /               
       

        u = atanh(x)         dv = 1 dx
       du = 1/(1-x**2) dx     v = x  
        

                (u*dv)            (u*v)     (v*            du)
        /                                  /               
       | (atanh(x)*1)  dx = atanh(x)*x -  | (x*1/(1-x**2)) dx         
       /                                  /                              
                 
                                                           
        /                            /
       | atanh(x) dx = atanh(x) x - | (1/(1+x**2)) x dx       
       /                            /   
                                                         
                        _______________________                                
                       |         u = (1-x**2) |
                       |        du = -2*x dx  |
                       | (-1/2) du =    x dx  |
                       |______________________|
              

        /                            /
       | atanh(x) dx = atanh(x) x - | (1/(u)  (-1/2) du     
       /                            /                       
       
                  
        /                                  /
       | atanh(x) dx = atanh(x) x + (1/2) | (1/u) du
       /                                  /
       

        /                               
       | atanh(x) dx = atanh(x) x + (1/2)  ln|u| + c
       /                               

        /                               
       | atanh(x) dx = atanh(x) x + (1/2)  ln|1-x**2| + c
       /