Mathc initiation/a00ac

Sommaire

Calculons la primitive :

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Calculer la primitive de   | atan(x) dx 
                          /
       
       Utilisons l'intégration par partie
       
        u = ...    dv = ...
       du = ...     v = ...
       
        /              /
       | u dv = u v - | v du
       /              /
       
       Nous savons que la dérivé de atan(x) est 1/(1+x**2).
       Nous ne connaissons pas sa primitive. 
       Nous allons multiplier atan(x) par 1. 
       Nous allons poser que u = atan(x) et dv = 1 dx.
       
       
        /               
       | (atan(x)*1)  dx = 
       /               
       

        u = atan(x)         dv = 1 dx
       du = 1/(1+x**2) dx    v = x   
       
        /                          (u*v)    / (v               du)
       | (atan(x)*1) dx    = atan(x) * x - | ( x * 1/(1+x**2)) dx      
       /                                   /                          
                     _____________________                                                                                
                    |        k = (1+x**2) |
                    |       dk =  2*x dx  |
                    | (1/2) dk =    x dx  |  
                    |_____________________|
                                     
       /                           /
       | atan(x) dx = atan(x) x - | (1/(1+x**2)) (x dx)      
       /                          /                            
                                                                                                                                    
            
        /                                 /
       |  atan(x) dx = atan(x) x - (1/2) | (1/k) dk
       /                                 /
       

        /                               
       |  atan(x) dx = atan(x) x - (1/2) ln|k| + c
       /                               

        /                               
       |  atan(x) dx = atan(x) x - (1/2) ln|1+x**2| + c
       /