Mathc initiation/a000t

Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométries hyperboliques inverses

Vérifions si : acsch(X) = ln( 1/X + sqrt(1+X**2)/|X| ) ... ... ... -oo < X < +oo ... ... X != 0

  Posons (1) :  Y  = acsch(X)                           (1)
  
  
  Introduisons sech() :
  
       csch(Y) = csch(acsch(X))
       
       csch(Y) = X 
       
       
   Introduisons la définition de sech(Y) :       
       
       X = csch(Y) = 1/sinh(Y) = 2 / (e**(Y)-e**(-Y))
       
       
   Soit :  

     X = 2 / (e**(Y)-e**(-Y))
              
    (e**(Y) -   e**(-Y)) X = 2 
     
   X e**(Y) - X e**(-Y)    = 2  
  
  
  Multiplions par e**(Y)
  
      X e**(2Y) - X (1)    = 2 e**(Y)
       
       
  Soit :   X e**(2Y) - 2 e**(Y) - X = 0
  
  
   Posons (2) x = e**(Y)                               (2)   
      
      Nous avons
      
           (X) x**2 - (2)x - (X) = 0
        
        
        Soit a = (X), b = (-2), c = (-X)
        
        
        Calculons delta = b**2 - 4ac   
        
                  delta = (-2)**2 - 4(X)(-X)
                  
                  delta =       4 + 4X**2
                  
       Calculons les racines : 
                  
              x = (-b +/- sqrt(delta)) / 2a
            
              x = (-(-2) +/- sqrt(4+4X**2)) / 2(X)
              
              x =    (2  +/- 2 sqrt(1+X**2)) / 2(X)
       
              x =    (1  +/-   sqrt(1+X**2)) /  (X) 
       
    avec x = e**(Y) voir (2)
    
         e**(Y) =  (1+/-sqrt(1+X**2)) / X
         
         
     Prenons la valeur positive :
         
      ln(e**(Y)) =  ln((1+sqrt(1+X**2))/X)
    
               Y =  ln((1+sqrt(1+X**2))/X)   
               
               
    avec Y = acsch(X)        voir (1)        
                      
                       
        acsch(X) =  ln( (1+sqrt(1-X**2)) / X) 
        
        acsch(X) =  ln( 1/X + sqrt(1-X**2)/|X|)

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