Mathc initiation/a000r

Vérifier quelques propriétés mathématiques de trigonométries hyperboliques inverses

Vérifions si : acoth(X) = 1/2 ln((X+1)/(X-1)) ... ... ... -oo < X < -1 ... ... ou ... ... 1 < X < +oo

  Posons (1) :  Y  = acoth(X)                           (1)
  
  
  Introduisons coth() :
  
       coth(Y) = coth(acoth(X))
       
       coth(Y) = X 
       
       
   Introduisons la définition de coth(Y) :       
       
       X = coth(Y) = (exp(x)+exp(-x)) / (exp(Y)-exp(-Y))
       
       
   Soit :  

       X = (exp(Y)+exp(-Y)) / (exp(Y)-exp(-Y))
              
    (X) (exp(Y)-exp(-Y)) =  (exp(Y)+exp(-Y))
    
     (X)exp(Y)-(X)exp(-Y) =  exp(Y)+exp(-Y)
     
  
  Multiplions par e**(Y)
  
       (X)exp(2Y)-(X)(1) =  exp(2Y)+(1)
       
       (X)exp(2Y)-exp(2Y)-X-1 = 0
       
  Soit :   (X-1)exp(2Y) - X-1 = 0
  
           (X-1)exp(2Y)       = (X+1)
  
                exp(2Y)       = (X+1)/(X-1)
             
             ln(exp(2Y))  =  ln((X+1)/(X-1))           ln(x^n)    = n*ln(x) 
         
           2 ln(exp(Y))   =  ln((X+1)/(X-1))           ln(e^(2Y)) = 2*ln(e^(Y))         
  
                    Y =  1/2 ln((X+1)/(X-1)) 
                                 
                                           
    avec Y  = acoth(X)        voir (1)        
                                   
       acoth(X) =  1/2 ln((X+1)/(X-1))

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