Mathc initiation/Fichiers h : c30bep

Sommaire

Étude de cas :

Calculons :

             n   oo
 lim  (1+1/n) = 1       qui est une limite indéfinie.  
   n->oo 

                          n
Posons (*)  :  y = (1+1/n) 


Utilisons la fonction ln() pour faire basculer la puissance de n en multiplication.

   ln(y) =  n ln(1+1/n)
   

Calculons la limite de ln(y)

           lim   [n ln(1+1/n)] = oo 0  Qui est indéterminé. (ln(1+0) = 0)
            n->oo 

Pour utiliser la règle de l'hôpital, il nous faut transformer le produit en un quotient.


      Posons n = 1/(1/n)
      
                      ln(1+1/n)    0
        donc  lim     --------- = ---
              n->oo    (1/n)       0
              
              
Utilisons la règle de l'hôpital : 

 
                         1    
                        -----  * (-1/n**2)
                       (1+1/n)   
        donc  lim     --------- = 
              n->oo    (-1/n**2)     
                      

Simplifions                      
                      
                         1   
       donc  lim      --------- = 1 
              n->oo    (1+1/n)   
    
         
Nous avons donc 

                            
       donc  lim      ln(y) = 1 
              n->oo      
    
     
Soit

                  ln(y)      1                        
            lim  e      =   e                                         
               n->oo         
               
     
                                     
       donc lim  y      =   e                                         
               n->oo       
            
                      
                     
                     n     
 donc (*) lim  (1+1/n)  = e       
            n->oo

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