Mathc initiation/Fichiers c : c77ce1
Etude de sqrt(a**2+x**2)
Avec sqrt(a**2+x**2) posons x = a tan(Ø)
Donc
sqrt(a**2+x**2) = sqrt(a**2+(a tan(Ø))**2) 1 = sec(Ø)**2 - tan(Ø)**2
= a sqrt(1+tan(Ø)**2) 1+tan(Ø)**2 = sec(Ø)**2
= a sqrt(sec(Ø)**2)
= a sec(Ø)
/
Exemple : | x/(sqrt(2**2+x**2) dx
/
a = 2
x = 2 tan(Ø)
dx = 2 sec(Ø)**2 dØ
/ /
| x | 2tan(Ø)
| ------------------ dx = | --------------------- 2 sec(Ø)**2 dØ =
| sqrt(4+x**2) | sqrt(4+(2tan(Ø))**2)
/ /
/
| 2 tan(Ø)
| --------------------- 2 sec(Ø)**2 dØ =
| 2 sqrt(1+tan(Ø)**2)
/
/
| tan(Ø)
| --------------------- 2 sec(Ø)**2 dØ =
| sqrt(sec(Ø)**2)
/
/
| tan(Ø)
| 2 ------ sec(Ø)**2 dØ =
| sec(Ø)
/
/
| 2 tan(Ø) sec(Ø) dØ =
/
2 sec(Ø) + c = 2 1/cos(Ø) + c
. nous avons
. .
H . . x x = 2 tan(Ø)
. . tan(Ø) = x/2
. .
. . . . . .
2
.
. . H**2 = x**2+2**2
sqrt(x**2+4) . . x H = sqrt(x**2+4)
. .
. .
. . . . . .
2
donc 2/cos(Ø) + c = 2/(2/sqrt(x**2+4)) + c cos(Ø) = 2/sqrt(x**2+4)
/
| x/(sqrt(2**2+x**2) dx = sqrt(x**2+4) + c
/