Mathc complexes/a176
Matrices semblables.
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- Soit A,B,C trois matrices semblables. B = P**(-1) A P
- Soit P,Q,R trois matrices inversibles.
- Soit I la matrice identité.
a) A = I**(-1) A I
La relation « être semblables » est : réflexive.
b) Si B = P**(-1) A P
alors P B P**(-1) = P P**(-1) A P P**(-1) = A
ou A = P B P**(-1)
si nous posons Q = P**(-1) dans l'équation ci-dessus alors
on a B = P**(-1) A P et A = Q**(-1) B Q
La relation « être semblables » est : symétrique.
c) Si B = P**(-1) A P et C = Q**(-1) B Q
alors C = Q**(-1) B Q
C = Q**(-1) [P**(-1) A P] Q
C = [Q**(-1) P**(-1)] A [P Q]
C = [P Q]**(-1) A [P Q] posons R = [P Q]
C = R**(-1) A R
La relation « être semblables » est : transitive.
Donc la relation « être semblables » est une relation d'équivalence.