Mathématiques niveau seconde/Calculs

Effectuer des calculs

Comprendre la notion d'ensemble

Les ensembles sont des regroupements de nombres qui ont une caractéristique commune. Pour différencier les différents types de nombres (et donc pouvoir les classer dans des ensembles), on a recours à des définitions.

Un ensemble est défini par une règle qui permet de dire, lorsque l'on a un nombre en tête, si ce nombre appartient ou n'appartient pas à cet ensemble. De même, dans l'autre sens, cette règle permet de décrire tous les nombres qui le composent.

Enfin, les mathématiciens, pour gagner du temps lorsqu'ils écrivent leurs équations, ont inventé un système d'écriture spécifique à la désignation des ensembles.

Exemple : l'ensemble des "entiers naturels" $\mathbb {N}$. Qu'est ce qu'un "entier naturel" ? Et qu'est que $\mathbb {N}$?

• Le terme ensemble des entiers naturels est le nom de l'ensemble.
• Cet ensemble est décrit par la règle suivante : Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Cela signifie que tous les nombres entiers (un nombre entier est un nombre qui n'a pas de virgule) positifs, ou nuls (mais pas négatifs) sont inclus dans cet ensemble.
• Enfin, le symbole $\mathbb {N}$ est le symbole qui représente cet ensemble des entiers naturels dans les équations mathématiques.

À propos des règles : il est important de comprendre, comme dans cet exemple, que les définitions ont souvent des implications cachées : le terme de nombres entiers exclut donc les nombres à virgule. L'expression positifs obtenus en comptant à partir de 0 exclut donc les nombre négatifs. Une règle des règles est la suivante : tout nombre qui n'a pas été explicitement inclus dans l'ensemble est donc exclu de cet ensemble.

Quelques ensembles à connaître

Les entiers naturels

Les nombres entiers positifs obtenus en comptant à partir de 0 forment un ensemble appelé ensemble des entiers naturels. Il est noté $\mathbb {N}$.

$\mathbb {N}$ = {0 , 1 , 2 , 3 ,...}

Les entiers relatifs

Lorsqu'on rajoute à $\mathbb {N}$ les entiers négatifs, on obtient l'ensemble de tous les entiers, positifs, nul et négatifs. Ce nouvel ensemble est appelé ensemble des entiers relatifs et est noté $\mathbb {Z}$.

$\mathbb {Z}$={..., -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,...}

Les décimaux

L'ensemble des décimaux est l'ensemble des nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule. Il est noté $\mathbb {D}$.

Par exemple 1.567, -6.78 et 789.654 sont des éléments de l'ensemble $\mathbb {D}$.

Tous les décimaux peuvent s'écrire sous la forme $n.10^{p}$, les entiers n et p étant des entiers relatifs.

Les rationnels

L'ensemble de toutes les fractions du type ${\frac {a}{b}}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs,$b$ étant non nul s'appelle l'ensemble des nombres rationnels. Il est noté $\mathbb {Q}$.

Par exemple ${\frac {4}{3}},{\frac {10}{3}},{\frac {-8}{11}}$ sont des éléments de $\mathbb {Q}$.

Remarque: Les nombres rationnels sont parfois des décimaux comme ${\frac {2}{5}}=0,4$ mais parfois les décimales ne s'arrêtent jamais comme ${\frac {1}{3}}=0,33333333333333.......$

Les réels

Un nombre peut très bien avoir un nombre infini de chiffres après la virgule. Par exemple le célèbre nombre pi qui vaut 3.1415926....... ne s'arrête jamais. L'ensemble de tous les nombres, postifs ou négatifs avec un nombre quelconque de chiffres après la virgule s'appelle l'ensemble des réels. Il est noté $\mathbb {R}$.

Le symbole "appartient à"

Lorsqu'une valeur x appartient à un ensemble quelconque A, on écrit $x\in A$ qui se lit "x appartient à A".

Au contraire si x n'appartient pas à A, on écrira $x\notin A$

Exemple : l'entier 17 appartient à l'ensemble $\mathbb {N}$ donc on peut écrire $17\in \mathbb {N}$.

Remarque sur l'imbrication des ensembles entre eux

On voit que l'ensemble $\mathbb {Z}$ est composé de l'ensemble $\mathbb {N}$, auquel on a rajouté l'ensemble des nombres entiers négatifs. Si on voulait écrire une équation mathématique de cette fabrication, on pourrait écrire :

$\mathbb {Z}$ = $\mathbb {N}$ + {-1 , -2 , -3, -4, ...}

Donc on voit bien que l'ensemble des nombres entiers positifs, $\mathbb {N}$, est inclu dans $\mathbb {Z}$. On peut donc écrire : $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$.

En revanche, l'ensemble des nombres entiers relatifs comprend bien les nombres entiers positifs, mais aussi d'autres nombres qui ne sont pas inclus dans $\mathbb {N}$. On peut donc écrire : $\mathbb {Z} \not \subset \mathbb {N}$.

Cette remarque est valable pour tous les ensembles :

• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$,
• $\mathbb {N} \subset \mathbb {D}$,
• $\mathbb {N} \subset \mathbb {Q}$,
• $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$.
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {D}$,
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$,
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$,
• etc.

Et dans l'autre sens :

• $\mathbb {Z} \not \subset \mathbb {N}$,
• $\mathbb {D} \not \subset \mathbb {N}$,
• $\mathbb {Q} \not \subset \mathbb {N}$,
• $\mathbb {R} \not \subset \mathbb {N}$.
• $\mathbb {D} \not \subset \mathbb {Z}$,
• $\mathbb {Q} \not \subset \mathbb {Z}$,
• $\mathbb {R} \not \subset \mathbb {Z}$.
• etc.

Enfin, deux dernières remarques : un ensemble peut être inclus dans lui même : ils sont strictement identiques, donc inclu l'un dans l'autre :

• $\mathbb {N} \subset \mathbb {N}$,
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z}$,
• etc.

Pour montrer que deux ensembles différents sont égaux, il faut qu'ils puissent s'inclurent mutuellement :

• $Ensemble1\subset Ensemble2$, et

$Ensemble2\subset Ensemble1$.

Pour aller plus loin

L'ensemble des réels n'est pas "le plus grand ensemble qui puisse exister". Les mathématiciens ont inventé de nouveaux types de nombres qui ne peuvent plus être représenté physiquement. Ce sont par exemple les nombres imaginaires, avec leur notation d'ensemble $\mathbb {C}$.

Ces types de nombres sont uniquement utilisés dans des calculs (très) complexes ou la représentation mathématique des nombres est plus simple avec des nombres imaginaires qu'avec des nombres réels (c'est à dire que les écritures mathématiques sont plus simples en utilisant des nombres provenant de "l'ensemble des nombres imaginaires" qu'en utilisant des nombres provenant de l'"ensemble des nombres réels").

D'autre part, en Mathématique, la notion d'ensemble n'est pas d'habitude restreinte à celle d'ensemble de nombres. Les "ensembles" manipulés par les mathématiciens peuvent être des collections d'objets quelconques : ensembles de nombres, mais aussi ensembles de fonctions, ensembles d'ensembles, etc.

Exercices

Pour les valeurs suivantes, indiquez si elles appartiennent ou non à $\mathbb {N}$ , à $\mathbb {Z}$, à $\mathbb {D}$, à $\mathbb {Q}$ et à $\mathbb {R}$.

• 56
• -98
• 6.87
• 1/3

Solution

• 56
  • $56\in \mathbb {N}$
  • $56\in \mathbb {Z}$
  • $56\in \mathbb {D}$
  • $56\in \mathbb {Q}$
  • $56\in \mathbb {R}$
• -98
  • $-98\notin \mathbb {N}$
  • $-98\in \mathbb {Z}$
  • $-98\in \mathbb {D}$
  • $-98\in \mathbb {Q}$
  • $-98\in \mathbb {R}$
• 6.87
  • $6.87\notin \mathbb {N}$
  • $6.87\notin \mathbb {Z}$
  • $6.87\in \mathbb {D}$
  • $6.87\in \mathbb {Q}$
  • $6.87\in \mathbb {R}$
• 1/3
  • $1/3\notin \mathbb {N}$
  • $1/3\notin \mathbb {Z}$
  • $1/3\notin \mathbb {D}$
  • $1/3\in \mathbb {Q}$
  • $1/3\in \mathbb {R}$

Les nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un entier naturel n'admettant que deux diviseurs distincts : 1 et lui même. 0 et 1 ne sont pas premiers.

Exemple

13 n'est divisible que par 1 et par lui même (13/1 = 13, 13/13 = 1). On dit que 13 est un nombre premier.

À l'inverse, 12 est divisible par 1, 2, 4, 6 et lui même (12/1 = 12, 12/2 = 2, 12/4 = 3, 12/6 = 2 12/12 = 1). 12 n'est donc pas un nombre premier.

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 sont des nombres premiers.

Théorème

Pour savoir si un entier N est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers dont le carré est inférieur à N (notez que tous ces nombres sont inférieurs à N). Si aucun de ces nombres premiers ne divise N, alors N est premier, sinon N n'est pas premier.

Calculs sur les fractions

Soustraction de fraction

La fraction a / b est composée d'un numérateur (a) et d'un dénominateur (b).

La règle d'addition et de soustraction des fractions n'est applicable que si les deux fractions possèdent le même dénominateur. Or, ceci ne sera généralement pas le cas. Il faudra alors réécrire les fractions en fractions équivalentes ayant un dénominateur commun.

Pour soustraire des fractions : on les réduit au même dénominateur (1) , puis on retranche le numérateur de la plus petite (2) du numérateur de la plus grande (3) , et on donne au reste (4) pour dénominateur, le dénominateur commun (5).

Règle de base : On ne peut ajouter ou soustraire que des fractions qui ont LE MÊME DÉNOMINATEUR.

1. Si les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, Il faut les RÉDUIRE AU MÊME DÉNOMINATEUR.
2. On garde le dénominateur commun ;
3. On effectue l'opération (+ ou - selon le cas) sur les numérateurs.

Pour réduire deux fractions au même dénominateur, il faut multiplier les numérateurs et dénominateurs de chaque fraction par le dénominateur de l'autre fraction.

Exemple: Calculer ${\frac {5}{8}}+{\frac {1}{4}}$

1. Réduire au même dénominateur

   $={\frac {5\times 4}{8\times 4}}+{\frac {1\times 8}{4\times 8}}$

   $={\frac {20}{32}}+{\frac {8}{32}}$

2. Effectuer le calcul sur les numérateurs en utilisant le dénominateur commun

   $={\frac {20+8}{32}}$

   $={\frac {28}{32}}$

3. Simplifier la fraction

   ${\frac {28}{32}}={\frac {7\times 4}{8\times 4}}={\frac {7}{8}}$

La notation scientifique

On utilise le plus souvent la notation scientifique en Sciences Physiques et Chimie, pour exprimer de grands nombres.

RAPPEL:

Un nombre écrit en notation scientifique est écrit sous la forme : $a\times 10^{p}$ où :
$a$: nombre décimal compris entre -10 exclu et 10 exclu
$p$: entier relatif

Dans $10^{p}$, p est appelé l'exposant de 10, et $10^{p}$ se lit "10 puissance p"

ATTENTION !! :Le nombre p doit être un entier relatif, donc ne doit pas admettre de chiffres après la virgule : ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...

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METTRE UN NOMBRE EN NOTATION SCIENTIFIQUE

Nous allons voir, à partir d'exemples, comment mettre un nombre en notation scientifique. Il n'y a rien de difficile, mais il faut savoir comment marchent les puissances de 10 pour comprendre cette méthode.

Le cas le plus simple est celui où le nombre à mettre en notation scientifique est compris entre -10 exclu et 10 exclu, par exemple $7,0125$. On cherche donc un nombre décimal $a$ compris entre -10 exclu et 10 exclu, et un entier relatif $p$, tels que $7,0125=a\times 10^{p}$. Le $a$ cherché n'est rien d'autre que le nombre lui-même, avec $p=0$. On a bien :

$7,0125\times 10^{0}=7,0125\times 1=7,0125$

Le nombre $7,0125$ s'écrit donc en notation scientifique $7,0125\times 10^{0}$, le nombre $-7,0125$ s'écrit $-7,0125\times 10^{0}$, etc.

Prenons le cas où le nombre de départ est un entier relatif à au moins deux chiffres, par exemple $420\,000$. On cherche $a$ et $p$ comme ci-dessus, tels que $420\,000=a\times 10^{p}$

Le $a$ doit être compris entre $-10$ exclu et $10$ exclu : ce sera le nombre obtenu en insérant dans le nombre initial une virgule immédiatement après son premier chiffre. On obtient $a=4,20000$. L'écriture de $a$ peut bien sûr être simplifiée en éliminant tous les zéros qui terminent sa partie décimale : on a $a=4,20000=4,2$. Reste à trouver $p$ : sa valeur est le nombre de chiffres du nombre initial, moins un. Dans notre exemple, $420\,000$ contient $6$ chiffres, donc $p=5$.

Le nombre $420\,000$ s'écrit donc, en notation scientifique, $4,2\times 10^{5}$.

On peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien $420\,000=4,2\times 10^{5}$, par le calcul suivant :

$4,2\times 10^{5}=(4,2\times 10)\times 10^{4}=42\times 10^{4}$

$42\times 10^{4}=(42\times 10)\times 10^{3}=420\times 10^{3}$

$420\times 10^{3}=(420\times 10)\times 10^{2}=4\,200\times 10^{2}$

$4\,200\times 10^{2}=(4200\times 10)\times 10^{1}=42\,000\times 10^{1}=42\,000\times 10=420\,000$

Dans le cas où le nombre de départ est un entier négatif, il n'y a rien de plus à faire : le signe moins est simplement reporté dans $a$ : $-420\,000=-4,2\times 10^{5}$.

Prenons à présent le cas où le nombre est un nombre décimal plus grand que 10 ou plus petit que -10, par exemple $420,125$. Là encore, on cherche $a$ et $p$ tels que $420,125=a\times 10^{p}$

Le $a$ sera cette fois le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre vers la gauche, en la plaçant immédiatement après son premier chiffre. On obtient $a=4,20125$. La valeur de $p$ est alors le nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne. Dans notre exemple, on passe de $420,125$ à $4,20125$ en déplaçant la virgule de deux chiffres vers la gauche, donc $p=2$.

En notation scientifique, $420,125$ s'écrit donc $4,20125\times 10^{2}$.

La encore, on peut vérifier que cette méthode est correcte, c'est-à-dire qu'on a bien $420,125=4,20125\times 10^{2}$, par le calcul suivant :

$4,20125\times 10^{2}=(4,20125\times 10)\times 10^{1}=42,0125\times 10^{1}$

$42,0125\times 10^{1}=42,0125\times 10=420,125$

Dans le cas où le nombre à traiter est négatif, le signe moins est à nouveau reporté dans $a$ : $-420,125=-4,20125\times 10^{2}$. Noter que cette méthode peut être adaptée au cas d'un nombre entier : pour écrire par exemple $420\,000$ en notation scientifique, il suffit de l'appliquer à $420\,000,0$. On obtient $a=4,200000$, $p=5$, et l'écriture de $a$ se simplifie en $4,2$

Le dernier cas possible est celui où le nombre de départ est un nombre décimal compris entre -1 et 1 exclus, par exemple $0,00125$. On cherche à nouveau $a$ et $p$ tels que $0,00125=a\times 10^{p}$

Le $a$ sera le nombre obtenu en déplaçant la virgule du nombre de départ vers la droite, en la plaçant immédiatement après le premier chiffre différent de zéro, et en oubliant tous les zéros qui précèdent ce chiffre. On obtient $a=1,25$. La valeur de $p$ est alors l'opposé du nombre de chiffres entre la nouvelle position de la virgule et l'ancienne (le même nombre, mais précédé d'un signe moins). Dans notre exemple, on passe de $0,00125$ à $1,25$ en déplaçant la virgule de trois chiffres vers la droite, donc $p=-3$.

En notation scientifique, $0,00125$ s'écrit donc $1,25\times 10^{-3}$. On a bien $0,00125=1,25\times 10^{-3}$, comme le montre le calcul suivant :

$1,25\times 10^{-3}=(1,25\times 10^{-1})\times 10^{-2}=0,125\times 10^{-2}$

$0,125\times 10^{-2}=(0,125\times 10^{-1})\times 10^{-1}=0,0125\times 10^{-1}$

$0,0125\times 10^{-1}=0,00125$

Si le nombre à traiter est négatif, son signe moins est reporté dans $a$.

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Usage de calculatrices

Les calculatrices sont des outils puissants mais il faut prêter une attention particulière au nombre de chiffres significatifs.

Notion de Chiffres Significatifs

La notion de chiffres significatifs est liée à la précision concernant des mesures physiques. En effet, lorsque par exemple on mesure expérimentalement une distance à l'aide d'une règle graduée on est capable de donner la distance au millimètre près mais rarement mieux. On ne peut donc rien affirmer concernant les µm ($10^{-6}$ m) et encore moins les nm ($10^{-9}$ m). Il existe donc une incertitude concernant notre mesure.
La notion de chiffres significatifs permet de mieux coller à la réalité physique de notre monde, c'est pourquoi on l'utilise en physique-chimie.
Le nombre de chiffres que comporte un nombre (excepté les "0" au tout début du nombre) correspond aux nombres de chiffres significatifs de ce nombre.

Exemples:

• 12,96 possède 4 chiffres significatifs.
• 012,96 et 0,1296 possèdent aussi 4 chiffres significatifs car un "0" au début du nombre n'est pas un chiffre significatif.
• 1,9 possède 2 chiffres significatifs.

Application à la physique de la Notion de Chiffres Significatifs

Partons d'un simple cube dont on souhaite mesurer la taille.

En mathématique, on peut définir un cube "idéal" ayant exactement 10 cm de côté. Ce cube est un concept, c'est à dire qu'il n'a pas d'existence physique en tant que tel. Un cube défini comme ayant 10 cm de côté a bien 10 cm de côté, avec une précision infinie, puisque virtuelle.

En physique, c'est autre chose : le cube existe réellement, et il faut le mesurer. Dire que le cube fait 10 cm de côté n'a (presque) pas de sens si on ne définit pas l'échelle de mesure, de laquelle on déduit les chiffres significatifs.

Imaginons que l'on mesure ce cube avec un microscope électronique (précis au minimum au µm ($10^{-6}$ m)). Si l'on dit, après cette mesure, que le cube fait 10cm de côté, en réalité, on déclare implicitement : "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 0,000001m et 10cm + 0,000001m, c'est à dire entre 9.9999cm et 10.0001cm".

Si l'on mesure ce même cube avec une règle d'écolier, et que l'on déclare "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement à l'unité de mesure de notre règle... Donc beaucoup moins précis qu'avec un microscope électronique. On déclare en fait implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1mm et 10cm + 1mm, c'est à dire entre 9.9cm et 10.1cm". C'"est déjà nettement moins précis, mais suffisant cependant dans la plupart des cas.

Si l'on mesure maintenant ce même cube (décidément !) avec une vieille règle usée, dont on n'arrive plus à lire les petites graduations, mais uniquement les cm. Si l'on déclare une fois encore "Le cube fait 10cm de côté", on est exact uniquement au cm près ! On déclare donc cette fois implicitement "Le cube que nous avons mesuré a une longueur de côté comprise entre 10cm - 1cm et 10cm + 1cm, c'est à dire entre 9 cm et 11 cm". Dans ce cas, la précision est à priori insuffisante.

On voit à travers ces exemples que la notion de longueur est en réalité intrinsèquement liée au mode de mesure. On peut parler de longueur théorique (mathématique), de longueur 'aussi précise que possible' (avec le microscope électronique), de longueur 'en pratique' (avec la règle d'écolier).

Application de cet exemple de Notion de Chiffres Significatifs aux calculatrices

Imaginons que pour calculer la taille du côté du cube, vous ayez utilisé votre calculatrice. Elle vous affiche le résultat : 10.00192. Quelle est la bonne valeur ? "10 cm" ? "10.001 cm" ? "10.00192 cm" ?

Aucune de ces trois valeurs n'est la bonne valeur ! Cela dépend entièrement du contexte dans lequel vous avez fait ce calcul. Mais avec un peu de bon sens, vous pourrez deviner que la longueur d'un cube qui sert de cale pour un meuble dans votre salon pourra être écrite sous la forme "10 cm" (une précision supplémentaire est totalement inutile), alors qu'une pièce cubique qui est le composant essentiel d'un avion pour transmettre correctement les efforts devra être fabriqué avec une tolérance très faible, donc dans ce cas la bonne valeur sera "10.00192 cm".