Mathématiques du traitement du signal/Fonctions de permutation

Fonctions de permutation en informatiqueModifier

Un petit camarade informaticien me demandait récemment par mail comment comment construire une fonction de permutation (qu'il a appelé valeur complémentaire):

J'ai besoin de tes lumières pour une quest° simple mais q je crois pas pouvoir trouver seul. 
En fait je pense que c'est une équation que j'arrive pas à solutionner .
tu es prêt ?
alors j'ai trois valeurs { 0, 1, 2}
jusque là je pense être clair !
Maintenant il faut que si je prends une valeur de l'ensemble je retombe automatiquement sur les deux autres,
je crois que ça pt s'appeler une valeur complémentaire.

Exemple j'ai 2 valeurs {0, 1}
l'équation complémentaire est 1-X
car 0 donne 1 
et 1 donne 0

Mais avec {0 1 2} je trouve pas
je dirai
2-x
1-x
car le 1 fait bloquer le processus .....
Et je dois trouver un substitut pour un élémen t de détail sur 1 de mes sites . salut

C'est une question suffisamment générique en informatique pour que cela vaille le coup d'y consacrer un peu de place ici.

pour un ensemble de N nombres (ici 3), il te faut N-1 (ici 2) fonctions. Elles doivent toutes être construites sur le même modèle, qui vient du fait que si tu as N-1 nombres   la fonction (c'est un polynôme de degré N-2) :

  vaut zéro pour tous ces nombres

Pour construire une fonction qui envoie aN sur a1 et tous les autres nombres   sur zéro, il faut prendre la fonction :

 

je vais noter cette fonction   pour nous rappeler qu'elle vaut zéro partout sauf pour  .

de même, la fonction qui envoie a1 sur a2 et tous les autres nombres   sur zéro est :

 

où j'ai noté   ; maintenant, tu peux remarquer que :

 

vaut zéro partout sauf en   et en   (où elle vaut   et  ), voila que ça commence à prendre forme. La formule finale est :

 

qui vaut   en   pour tous les n (elle décale tout le monde d'un indice).

si on applique cela à ton problème (mais comme ça tu pourras résoudre n'importe quel problème du genre) :

 

 

et donc

 

ce qui permet d'écrire :

 

que tu peux simpifier en  

Cette fonction a bien la propriété d'envoyer 0 sur 1, 1 sur 2 et 2 sur 0.

tu peux obtenir de la même façon une seconde fonction qui envoie 0 sur 2, 1 sur 0 et 2 sur 1, il s'agit de :

 

et voilà, j'espère que cela répond à ta question et surtout que cela va te permettre de calculer toi même toutes les fonctions de ce genre dont tu auras besoin.