Mécanique du point matériel / Composition de mouvements

Mécanique du point matériel

1. Bibliographie
2. Introduction
3. Cinématique
4. Composition de mouvements
5. Dynamique
6. Travail et Énergie
7. Système à deux particules, les chocs
8. Les Oscillateurs harmoniques
9. Les Forces centrales, application à la mécanique céleste

Considérons deux référentiels R et R’ en mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre. (de ce fait R est lui aussi en mouvement quelconque par rapport à R’). Quelles relations existent-t-ils entre les grandeurs cinématiques (vitesse et accélération) d’un même point matériel M en mouvement, relativement à R et R’ ?

Tout d’abord on va établir la relation entre les dérivées d’un même vecteur par rapport au temps relativement à deux référentiels R et R’.

1- Dérrivées par rapport au référentiel fixe R(O,x,y,z ) des vecteurs de la base: $({\vec {i'}},{\vec {j'}},{\vec {k'}})$; du référentiel mobile R’(O', x',y',z').

Les dérivées des vecteurs unitaires mobiles, sont nécessaires pour la suite du cours.

La base $({\vec {i'}},{\vec {j'}},{\vec {k'}})$; étant orthonormée, on a les relatons suivantes

${\vec {i'}}^{2}=1;{\vec {j'}}^{2}=1;{\vec {k'}}^{2}=1$.

${\vec {i'}}.{\vec {j'}}=0;{\vec {j'}}.{\vec {k'}}=0;{\vec {i'}}.{\vec {k'}}=0$

Par dérivation de ces six relations on obtient:

${\begin{cases}{\vec {i'}}.{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}=0&{\text{et}}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}.{\vec {j'}}+{\vec {i'}}.{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=0\\{\vec {j'}}.{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=0&{\text{et}}{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}.{\vec {k'}}+{\vec {j'}}.{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=0\\{\vec {k'}}.{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=0&{\text{et}}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}.{\vec {k'}}+{\vec {i'}}.{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=0.\end{cases}}$

${\begin{cases}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}=a_{1}{\vec {j'}}+b_{1}{\vec {k'}}&{\text{et}}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}.{\vec {j'}}+{\vec {i'}}.{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=0\\{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=a_{2}{\vec {i'}}+c_{2}{\vec {k'}}&{\text{et}}{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}.{\vec {k'}}+{\vec {j'}}.{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=0\\{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=a_{3}{\vec {i'}}+b_{3}{\vec {j'}}&{\text{et}}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}.{\vec {k'}}+{\vec {i'}}.{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=0.\end{cases}}$

${\begin{cases}a_{2}=-a_{1}\\b_{3}=-c_{2}\\a_{3}=-b_{1}.\end{cases}}$

les nouvelles expressions des dérrivées des vecteurs unitaires du repère mobile deviennent: ${\begin{cases}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}=a_{1}{\vec {j'}}-a_{3}{\vec {k'}}\\{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=-a_{1}{\vec {i'}}-b_{3}{\vec {k'}}\\{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=-b_{1}{\vec {i'}}+b_{3}{\vec {j'}}.\end{cases}}$

si on introduit le vecteur rotation: ${\vec {\Omega }}=\omega _{1}{\vec {i'}}+\omega _{2}{\vec {j'}}+\omega _{3}{\vec {k'}}$ et si on calcule les produits vectoriels suivant:

${\begin{cases}{\vec {\Omega }}\times {\vec {i'}}=\omega _{3}{\vec {j'}}-\omega _{2}{\vec {k'}}\\{\vec {\Omega }}\times {\vec {j'}}=-\omega _{3}{\vec {i'}}+\omega _{1}{\vec {k'}}\\{\vec {\Omega }}\times {\vec {k'}}=\omega _{2}{\vec {i'}}-\omega _{1}{\vec {j'}}.\end{cases}}$

par comparaison des expressions precedentes on constate que si on pose:

$\omega _{3}=a_{1},\omega _{2}=a_{3}{\text{ et }}\omega _{1}=-b_{3}$

${\begin{cases}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}=\omega _{3}{\vec {j'}}-\omega _{2}{\vec {k'}}=\Omega \times {\vec {i'}}\\{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}=-\omega _{3}{\vec {i'}}+\omega _{1}{\vec {k'}}=\Omega \times {\vec {i'}}\\{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}=\omega _{2}{\vec {i'}}-\omega _{1}{\vec {j'}}=\Omega \times {\vec {i'}}.\end{cases}}$

on peut rassembler ces resultats sous une forme matricielle:

${\begin{pmatrix}{\frac {d{\vec {i'}}}{dt}}\\{\frac {d{\vec {j'}}}{dt}}\\{\frac {d{\vec {k'}}}{dt}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\omega _{3}&-\omega _{2}\\-\omega _{3}&0&+\omega _{1}\\\omega _{2}&0&-\omega _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\vec {i'}}\\{\vec {j'}}\\{\vec {k'}}\end{pmatrix}}$

  (1)      et            (2)

Remplaçons les valeurs de (2) dans les relations (1):

Ce qui donne :

  (3)

Introduisons un vecteur dit vecteur rotation de R' par rapport à R:

Remarque : Ici représente la forme la plus complexe de la rotation. Le mouvement quelconque est décomposable en rotations plus des translations mais la translation garde les vecteurs de la base en mouvement constant dans le temps, il ne reste plus que la rotation qu’il faut considérer sous sa forme la plus complexe (rotation autour de trois axes).

Calculons :

  (4)

En comparant (3) et (4):

Le vecteur rotation permet d'écrire la relation générale:

; ( )	 	 

1) Dérivées d’un vecteur par rapport au temps, relatives à R et R’

Soit un vecteur de composantes x, y, z dans R et x’, y’, z’ dans R’.

  et  

À partir de :

Or : , avec la vitesse angulaire R’ par rapport à R .

- lorsque R et R’ sont en translation : - lorsque est lié à R’ : -

2°) Composition des vitesses angulaires

Soient deux points M1et M2 liés au repère R2. R2 tourne avec la vitesse par rapport à R1 et R1 tourne avec la vitesse par rapport à R0.

 ; 

 Or :   

Donc : D’où :

3°) Composition des vitesses

avec : , la vitesse relative et , la vitesse d’entraînement.

La vitesse d’entraînement est la vitesse de M lorsque M reste fixe dans R’.

Exemples :

- nageur traversant une rivière d’une rive A à la rive B

- une personne qui marche dans un couloir du train selon qu’il marche dans le sens de marche du train ou non

 est appelée la vitesse de rotation angulaire de R’ par rapport à R.

Soient A et B deux points liés à R’.

 et  

Entre ces deux relations je déduis :

Différents mouvements de R’ par rapport à R

a- Translation

Le repère R’ a un mouvement de translation par rapport à R, Un vecteur lié à R’ ne change ni le module ni le sens, il est donc constant par rapport à R.

 donc :   donc obligatoirement  =0

Tous les points M liés à R’ ont même vitesse et accélération.

b- Rotation autour d’un axe commun à R et R’

Les points situés sur cet axe commun à R et R’ noté OZ (O et O’ sont confondus), ont une vitesse nulle.

La vitesse d’un point A de R’ s’écrit : D’autre part, le point A décrit un cercle de centre H et de rayon AH, H étant la projection de A sur OZ.

comme :

La comparaison des deux expressions de la vitesse montre que est porté par l’axe de rotation OZ et de composante sur OZ égale .

En effet :

le vecteur rotation ne peut être que porte par l4axe z

4°) Composition des accélérations

avec

L’accélération d’entraînement est l’accélération d’un point fixe dans R’, elle est la même pour tout point M.

L’accélération d’entraînement est différente de la dérivée de la vitesse d’entraînement :

Elles ne sont égales que dans le cas où : ou . En effet :

, est l’accélération complémentaire. Elle porte aussi le nom d’accélération de Coriolis car elle engendre la force d’inertie de Coriolis.