Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/applications simples

Il s'agit de donner ici une description bien détaillée de quelques exemples simples de dynamique et d'éviter quelques pièges de débutant.

La machine d'Atwood

Elle n' a d'intérêt que pédagogique. Elle trône au fond des réserves des laboratoires, plus ou moins sophistiquée.

Soit une poulie de centre O de rayon r , d'inertie à la rotation J, fixée par sa chape au plafond.

Une fil, inextensible , sans masse et sans raideur, ne glissant pas sur la poulie, supporte de part et d'autre de la poulie , deux masses m1 et m2<m1.

Le système est donc quasi en équilibre si m1 est voisin de m2 : on se dit intuitivement que la chute de m1 va être ralentie par m2.

Le système n'a qu'un degré de liberté : si m1 descend de z , m2 monte de z et la poulie a tourné de z/r. Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au système :

Ec = 1/2 m1 z'² +1/2 m2 (-z)'² + 1/2 J (z'/r)² = 1/2(m1+m2+J/r²).z'²= 1/2 Meff. z'²

Le travail des forces externes est : celui des poids : gz(m1-m2). L'action de la chape sur la poulie ne travaille pas (si la poulie est sans frottement)

Le travail des forces intérieures est nul si la ficelle a les propriétés sus-dites.

D'où 1/2 Meff.z'² = (m1-m2)g z

On en tire z" = g .(m1-m2)/Meff.

Cette solution est très efficace.

Mais, on doit décortiquer le système pour pouvoir progresser plus tard, par exemple si on demande la réaction de la chape.

PFDT sur m1 : m1 z" = m1g -T1 PFDT sur m2 : m2 (-z)" = m2g- T2 PFDR sur J : J (z/r)" = r.T1 -r.T2

par ajout convenable , T1 et T2 s'éliminent et l'on retrouve bien : (m1 + m2 + J/r²)z" = g (m1-m2).Soit z" = cste = a < g : on peut le vérifier expérimentalement dans la mesure usuelle (négliger la résistance de l'air).

Soit maintenant à trouver l'action R de la chape : intuitivement elle doit être inférieure à (m1+m2)g [+poids de la poulie]. Effectivement le point O de la poulie étant immobile , T1 + T2 [+poids de la poulie] = R

T1 est bien sûr inférieure à m1g puisque m1 descend :

T1 = m1g-m1.a

T2 est bien sûr supérieure à m2g puisque m2 est accélérée vers le haut :

T2 = m2g +m2.a

Soit T1+T2 = (m1+m2)g - (m1-m2).a

La légère déplétion de R varie donc comme (m1-m2)² : heureusement , car le raisonnement est parfaitement symétrique en m1 et m2, de ce point de vue !

Mach suspendait la machine immobile au plateau d'une balance de constante de temps très petite et équilibrait la balance. Libérant la machine en brûlant un petit fil annexe, il lisait la déplétion de R.

• [Remarque annexe : si les masses balancent, il y a trois degrés de liberté , et un système aussi banal est non-intégrable (Ramis-Morales 2004)! C'est dire la difficulté de la mécanique "non-épurée" de ses artefacts].

Parmi ces artefacts, bien sûr, il y a le poids de la ficelle , son extensibilité (alors m2 ne monte pas comme m1 descend), sa raideur ( alors r.T1 doit être légèrement augmenté , et de plus il faudrait certainement compter avec le frottement interne de ce pliage du fil. Enfin de très nombreux artifices ont été inventé pour améliorer le fonctionnement de la poulie.

Retenir : piège oh combien classique : la tension du fil à plomb n'est égale au poids du plomb que si celui-ci n'est pas accéléré.

Galilée et le cylindre descendant un plan incliné

Soit un plan incliné d'angle A : Galilée disait que l'accélération d'une bille, voire d'un cylindre, était g sin A ! Que nenni ! Et les moyens de l'époque permettaient bien de le voir puisqu'on le voit bien au Palais : cylindre et bille ne tombent pas de même. Curieux , ce silence au XVIIème , sur ce point , pourtant très visible :

Comme il n'y a qu'un dégré de liberté , faisons le raisonnement par le théorème de l'énergie cinétique :

Ec = 1/2 m V(G)² +1/2 J w² , avec Rw = V(G) car on suppose un roulement sans glissement (il y a donc beaucoup de frottement, éventuellement la balle est en caoutchouc, le cylindre est un pneu).

donc Ec = 1/2 (m +J/r²)V(G)².

Les forces extérieures sont le poids (dont la puissance est mg sin A. V(G) , comme usuel) et l'action du plan sur le pneu qui évidemment a une composante normale N qui ne travaille pas , mais aussi une composante tangentielle T dirigée vers le haut , MAIS qui ne travaille pas non plus , car le point d'application a , à ce moment précis une vitesse de glissement NULLE.

il reste donc : (m+J/r²)a(G) = mg sinA ;

soit : a(G) = cste = g sinA . [m/ (m+J/r²)]

et ce coefficient entre crochet peut varier de 1 à 0 sans problème ( penser par exemple à faire descendre un bobine de film vide, ou une roue de vélo à jante plombée sur deux rails parallèles le moyeu ayant été muni de gomme.

En tout cas entre tube creux et barreau plein, le crochet varie de 1/2 à 2/3 : cela se VOIT. Quelle était la cécité expérimentale de Galilée si clairvoyant dans ses raisonnements ?

Si l'on essaie au contraire de rendre la glissière très lisse comme dans un toboggan, horreur! la bille roule et glisse et vraiment ce n'est pas très reproductible.

• Analysons le problème via le PFD , si on demande par exemple la valeur de T :

PFDT appliqué à G : ma(G) = mg sinA - T [+ n.(mgcosA-N)]

PFDR dans R* : Jw' = 0.mg + r.T , avec w' = a(G)/r (car roulement sans glissement).

On élimine T ; d'où (m+J/r²) a(G) = mg sin A , résultat précédent ; on en tire T :

T = mg sinA [ J/r² /(m+J/r²)] SI T < f N = f mg cosA ( ce qui exige un coefficient de frottement coulombien f assez grand si A est "grand".

La bicyclette

Soit une bicyclette , pédalier vertical.

On tire la pédale du bas(disons la pédale de droite) vers l'arrière horizontalement avec la force Fo : le vélo avance-t-il comme le sens du mouvement du pédalier semble le faire croire , ou bien recule-til vers l'arrière et avec quelle accélération initiale ?

Il faut faire l'expérience ! c'est trop joli ! Oui , bien sûr , le vélo RECULE .

En effet quand le vélo recule de x, la roue arrière a tourné de theta = x/R , et le pédalier a tourné "malgré Fo" à la senestre, d'un angle phi et donc la pédale de droite a RECULÉ de x-r.phi (en effet dans tout vélo normal R.theta est supérieur à r.phi, même avec un braquet maximal), soit kx (k<1). Comme on suppose peu de frottement sur le moyeu et la chaîne, et que le frottement sans glissement de la route ne travaille pas , la puissance de la force Fo.kV est égale à 1/2 Mefficace.V² du vélo avec tout ce qui tourne : l'accélération initiale est donc F0.k/M_eff.

Le culbuto

On a tous plus ou moins vu ce genre d'objet qui se "redresse tout seul". Ce problème est déjà bien compris de Stevin (1548-1620).

Prenons le cas d'une demi-sphère creuse (juste pour éviter des calculs de barycentre). Le barycentre est donc à R/2 de hauteur. Inclinons-la d'un petit angle A, à la dextre. Le centre instantané de rotation I étant immobile , le point O avance de R.A et le point G de R/2.A . Le nouveau point de sustentation est le point dessous O donc à droite de G : le poids au point G a donc tendance à déséquilibrer la demi-sphère à la senestre : il y a effet culbuto.

Stevin raisonnait aussi en regardant la trajectoire de G : c'est une trochoïde raccourcie (anachronique pour Stevin certes!), et si G est dans le fond d'une cuvette de potentiel,alors c'est stable ; Huygens, lui, sait calculer le rayon de courbure et en déduire la période des petites oscillations .