Les suites et séries/Les sous-suites (suites extraites)

Dans les chapitres précédents, nous avons vu des suites lambda et quelques opérations que l'on peut faire sur celles-ci. Mais nous avons volontairement omis de parler d'une opération assez simple : l'extraction. Cette opération permet de créer une nouvelle suite à partir d'une suite donnée en opérande. Elle prend une suite et n'en garde qu'une partie des termes, les autres étant retirés de la suite. L'extraction est définie par une fonction, la fonction extractrice, qui détermine quels sont les termes à conserver et ceux à oublier. Le résultat de cette opération d'extraction est appelée une sous-suite ou encore une suite extraite (sous-entendu, extraite d'une suite donnée).

La définition formelle d'une suite extraite est la suivante :

Une suite $(v_{n})$ est une sous-suite de $(u_{n})$ si il existe une fonction strictement croissante $f:N\rightarrow N$ (la fonction extractrice) telle que : $v_{n}=u_{f(n)}$

Prenons quelques exemples, pour que vous compreniez mieux cette définition.

• Supposons que l'on veuille ne conserver que les rangs pairs de la suite $(u_{n})$. Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : $f:f(n)=2\cdot n$, ce qui donne : $v_{n}=u_{2\cdot n}$, qui ne conserve que les rangs pairs.
• Supposons maintenant que l'on veuille ne conserver que les rangs impairs de la suite $(u_{n})$. Dans ce cas, la fonction extractrice est la fonction : $f:f(n)=2\cdot n+1$, ce qui donne : $v_{n}=u_{2\cdot n+1}$, soit seulement les rangs impairs.

La convergence d'une sous-suite

Si une suite converge vers L, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.

Démonstration

Prenons une suite $(u_{n})$ qui converge vers L et une de ses sous-suites $(v_{n})$ d'extractrice $f$. Dire que la suite converge vers L signifie, pour rappel, que pour tout $\epsilon >0$, il existe $n_{0}$ tel que pour tout $n\geq n_{0},\vert u_{n}-L\vert <\epsilon$. Vu que la fonction extractrice est croissante, on a : $f(n)\geq n$ (ce lemme se démontre aisément par récurrence). On a alors $f(n)\geq n\geq n_{0}$ et donc $\vert u_{f(n)}-L\vert <\epsilon$, c'est-à-dire $\vert v_{n}-L\vert <\epsilon$

Les sous-suites de suites bornées

Les sous-suites ont quelques propriétés intéressantes, et les suites bornées sont de loin les plus intéressantes à étudier.

Extraction d'une sous-suite monotone

Une première propriété intéressante est celle-ci :

De toute suite bornée, on peut extraire une suite monotone.

Démonstration

Prenons une suite $(u_{n})$. Un terme est un pic si tous les termes suivants sont plus petits que lui. En clair, un pic est défini par : $u_{n}>u_{p}$, pour tout $p>n$. On peut se retrouver dans plusieurs cas : Si la suite a une infinité de pics, alors la suite des pics forme une sous-suite décroissante. Sinon, on peut construire une sous-suite croissante. On prend comme premier terme un terme d'indice supérieur à tous les pics, puis un terme d'indice encore supérieur, etc. La suite ainsi construite est de facto croissante, par définition des pics.

Le théorème de Bolzano-Weierstrass

Le théorème de Bolzano-Weierstrass, appliqué aux suites réelles, nous dit que l'on peut en extraire une sous-suite convergente de n'importe quelle suite bornée. Le théorème nous dit qu'une telle sous-suite existe toujours, mais il ne nous dit pas comment trouver cette sous-suite. Il ne nous dit pas non plus qu'il n'en existe qu'une seule : il existe des situations où l'on peut extraire plusieurs sous-suites convergentes d'une même suite bornée.

Il existe plusieurs démonstrations du théorème.

• La première est simplement une application de la propriété précédente, qui dit que l'on peut extraire une sous-suite monotone de toute suite bornée. Or, toute suite monotone et bornée converge vers sa borne supérieure/inférieure, et cette sous-suite ne fait pas exception.
• La seconde est reproduite ci-dessous.

Démonstration

Prenons une suite $(u_{n})$ dont les termes sont bornés dans l'intervalle $[m,M]$ - m est la borne inférieure de la suite, alors que M en est la borne supérieure. Pour démontrer le théorème, nous allons construire deux suites adjacentes, par extraction de la suite $(u_{n})$. Ces deux suites adjacentes sont les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$. Construction des suites adjacentes par dichotomie : On pose, comme premier terme pour chaque sous-suite adjacente : $a_{0}=m$ et $b_{0}=M$. Par la suite, on procède par dichotomie. Partageons l'intervalle [m,M] en deux parties égales, respectivement les intervalles : $\left[m,{\frac {m+M}{2}}\right]$ et $\left[{\frac {m+M}{2}},M\right]$ Un de ces deux intervalles contient un nombre infini de termes, l'autre regroupant au contraire un nombre fini de termes. Si l'intervalle $\left[m,{\frac {m+M}{2}}\right]$ contient un nombre infini de termes, on pose : $a_{1}=m$ et $b_{1}={\frac {m+M}{2}}$. Si au contraire, c'est l'intervalle $\left[{\frac {m+M}{2}},M\right]$ contient un nombre infini de termes, on pose : $a_{1}={\frac {m+M}{2}}$ et $b_{1}=M$. A cette étape, on peut remarquer que l'intervalle choisit est deux fois plus petit que l'intervalle initial. En clair, $a_{1}-b_{1}={\frac {a_{0}-b_{0}}{2}}$. Et on recommence ainsi de suite avec l'intervalle choisit à l'étape précédente... Démonstration de l'adjacence des deux sous-suites : On peut démontrer que les deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes. On sait que : $(a_{n})$ est croissante et majorée par M : elle converge donc vers une limite L ; $(a_{n})$ est décroissante et minorée par m : elle converge donc vers une limite L'. A chaque étape, l'intervalle choisit est deux fois plus petit que l'intervalle initial. La différence $a_{n}-b_{n}$ est, par construction, égale à : $a_{n}-b_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}={\frac {a_{n-2}-b_{n-2}}{4}}={\frac {a_{n-3}-b_{n-3}}{8}}=...=={\frac {a_{0}-b_{0}}{2^{n}}}$ On peut donc en déduire que : $\lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}-b_{0}}{2^{n}}}=0$ Ce qui montre que les deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont adjacentes. Elles ont donc la même limite L. Construction de la suite extraite convergente : Construire la suite extraite convergente $(x_{n})$ est trivial : il suffit de prendre des termes qui sont entre les deux suites adjacentes, c'est-à-dire des termes $x_{n}$ tels que $u_{n}<x_{n}<v_{n}$. Par le théorème des gendarmes, cette suite converge vers la même limite que les deux suites adjacentes.