Intégrale impropre (E-M)

Exercices de mathématiques

Sommaire

Pour simplifier, une intégrale impropre est l'intégrale sur ]a , b[ d'une fonction dont la primitive n'est pas définie en a ou en b

• $\star \star$Pour quelles valeurs des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$, l'intégrale suivante existe-t-elle ? $\int _{e}^{+\infty }{dt \over t^{\alpha }\,(\ln t)^{\beta }}$ (intégrale de Bertrand).

Solution

pour $\alpha$ >1 et $\beta$ quelconque, ou $\alpha$ =1 et $\beta$ >1

 

• Calculer pour tout $n\in \mathbb {N}$ , l'intégrale $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}$.

Solution

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}=\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{4^{n}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}\right)dx}\\&\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {1}{4^{n}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}{x}}dx}}\\\end{aligned}}$

Or on a $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin \left(\left(2k+1\right)x\right)}{x}}dx}=\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2}}$.

Donc on obtient $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2^{2n+1}}}\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)}$.

Comme $\sum \limits _{k=0}^{n}{\left(-1\right)^{k}\left({\begin{matrix}2n+1\\n-k\\\end{matrix}}\right)}=\left({\begin{matrix}2n\\n\\\end{matrix}}\right)$ .

D'où $\int \limits _{0}^{+\infty }{{\frac {\sin ^{2n+1}x}{x}}dx}={\frac {\pi }{2^{2n+1}}}\left({\begin{matrix}2n\\n\\\end{matrix}}\right)$.

 

• 
  Calculer pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ l’intégrale $I_{n}=\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {1+2x+...+nx^{n-1}}}}}$.
  

Solution

Tout d’abord , on a $1+2x+...+nx^{n-1}={\frac {d}{dx}}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{x^{k}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right)={\frac {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}{\left(1-x\right)^{2}}}$.

D’où on a $I_{n}=\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {\left(x-1\right)dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}}}}$.

Faisons un changement de variable , pour cela posons $y={\sqrt {x^{n}\left(nx-n-1\right)+1}}$.

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}^{+\infty }{\frac {dy}{\left(y-1\right){\sqrt {y}}}}$.

Et un petit changement de variable encore avec $t={\sqrt {y}}$ , ce qui donne : $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }{{\frac {2}{t^{2}-1}}dt}$.

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\int \limits _{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }{\left({\frac {1}{t-1}}-{\frac {1}{t+1}}\right)dt}$.

D’où $I_{n}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\left[\ln \left({\frac {t-1}{t+1}}\right)\right]_{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}^{+\infty }$.

Finalement on obtient :: ${\overline {\overline {\underline {\underline {\int \limits _{1+{\frac {2}{n}}}^{+\infty }{\frac {dx}{x\left(nx-n-1\right){\sqrt {1+2x+...+nx^{n-1}}}}}={\frac {1}{n\left(n+1\right)}}\ln \left({\frac {{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}-1}{{\sqrt {1+\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}}}+1}}\right)}}}}}$.