Guide libre du dessinateur industriel - Torseur de cohésion

Cette annexe explique en détail la notion de torseur de cohésion pour compléter le chapitre Résistance des matériaux.

Prérequis : Consultez la notion de Torseur et plus particulièrement celle de Torseur statique sur Wikipédia.

Notion de torseur de cohésion

Soit ($E\;$) le solide assimilé à une poutre et (${\bar {E}}\;$) l’ensemble extérieur à ($E\;$). $R_{0}({\vec {x}}_{0},{\vec {y}}_{0},{\vec {z}}_{0})$ est le repère lié à ($E\;$) tel que ${\vec {x}}_{0}\;$ est confondu avec la ligne moyenne. Considérons un plan (P) normal à ${\vec {x}}_{0}\;$ définissant la section droite (S) de (E). Soit (G) le centre de surface de (S), ${\overrightarrow {OG}}=x\cdot {\vec {x}}_{0}\;$ définissant la position de la section droite par rapport à $R_{0}\;$. La coupure fictive par le plan (P) partage la poutre en deux tronçons ($E_{1}\;$) et ($E_{2}\;$).

Le torseur de cohésion $\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G,R_{0}}$ est le torseur associé à l'ensemble des actions mécaniques exercées par le tronçon $E_{2}\;$ sur le tronçon $E_{1}\;$ de la poutre dont les éléments de réduction sont exprimés au point G centre de la surface (S).

$\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\end{Bmatrix}}_{G}$

Remarque

Ces actions, non visibles, sont internes au matériau et lui permettent de garder son intégrité physique, d'où le mot de cohésion. Le torseur de cohésion est toujours le torseur des actions mécaniques exercées par le tronçon $E_{2}\;$ sur le tronçon $E_{1}\;$. ${\overrightarrow {\mathcal {R}}}\;$ et ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}$ sont fonctions de l’abscisse $x\;$ du centre de surface G de (S). Pour simplifier les écritures, il n’y aura pas d’indices sur les éléments de réduction.

Eléments de réduction en G du torseur de cohésion

Dans ce qui suit nous allons étudier l'équilibre de la poutre $E\;$. Le principe fondamental de la statique nous permet d'écrire :

$\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E}}}={\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E}}}={\overrightarrow {0}}\end{Bmatrix}}_{G}=\{0\}$

En utilisant la coupure fictive, les actions mécaniques extérieures peuvent êtres séparées en deux groupes :

• le torseur des action mécaniques extérieures à la poutre appliquées sur $E_{1}\;$ :

$\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}}}={\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E_{1}}}}={\overrightarrow {0}}\end{Bmatrix}}_{G}$

• le torseur des action mécaniques extérieures à la poutre appliquées sur $E_{2}\;$ :

$\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{2}}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E_{2}}}}={\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E_{2}}}}={\overrightarrow {0}}\end{Bmatrix}}_{G}$

L'équilibre de $E\;$ peut alors s'écrire :

$\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E}\}_{G}=\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}\}_{G}+\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{2}}\}_{G}=\{0\}$

Étude de l’équilibre de $E_{1}\;$

$E_{1}\;$ est en équilibre sous l’action de deux torseurs :

• actions du milieu extérieur exprimés par $\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}\}_{G}$
• actions du tronçon $E_{2}\;$ sur le tronçon $E_{1}\;$ exprimés par $\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}$

La relation fondamentale de la statique appliquée à $E_{1}\;$ :

$\{{\mathcal {T}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}\}_{G}+\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}=\{0\}$

c'est à dire :

${\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}}}+{\overrightarrow {R}}={\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E_{1}}}}+{\overrightarrow {M}}_{G}={\overrightarrow {0}}\end{Bmatrix}}_{G}=\{0\}$

Les éléments de réduction en G du torseur des actions de cohésion peuvent donc s’exprimer de deux façons :

$\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {-{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E_{1}}}}\\{\overrightarrow {-{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E_{1}}}}\end{Bmatrix}}_{G}$

ou encore

$\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{{\overline {E}}\to E_{2}}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G,{\overline {E}}\to E_{2}}}}\end{Bmatrix}}_{G}$

Composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion

Repère de définition des sollicitations

Soit $R(G,{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})\;$ le repère local associé à la section droite fictive (S). Ce repère est tel que ${\vec {x}}\;$ définit la normale extérieure à (S) relative à $E_{1}\;$. ${\vec {y}}\;$ et ${\vec {z}}\;$ appartiennent alors au plan (P) de la section (S).

Dénomination des composantes vectorielles

$\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\end{Bmatrix}}_{G}\Rightarrow {\begin{vmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}={\overrightarrow {N}}+{\overrightarrow {T}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{t}}}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{f}}}\end{vmatrix}}$

• Effort normal ${\overrightarrow {N}}\;$ : projection de ${\overrightarrow {\mathcal {R}}}\;$ sur l’axe ${\vec {x}}\;$,

• Effort tranchant ${\overrightarrow {T}}\;$ : projection de ${\overrightarrow {\mathcal {R}}}\;$ sur la section droite $({\vec {y}},{\vec {z}})\;$,

• Moment de torsion ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{t}}}\;$ : projection de ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\;$ sur l’axe ${\vec {x}}\;$,

• Moment de flexion ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{f}}}\;$ : projection de ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\;$ sur la section droite $({\vec {y}},{\vec {z}})\;$,

Composantes algébriques

${\overrightarrow {T}}\;$ et ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{f}}}\;$ n’ayant pas de direction privilégiée dans $({\vec {y}},{\vec {z}})\;$, il est préférable d’utiliser les composantes algébriques de ces vecteurs :

${\overrightarrow {\mathcal {R}}}{\begin{cases}N\;\mathrm {composante\ alg{\acute {e}}brique\ de\ {\overrightarrow {N}}\ sur\ } {\vec {x}}\;\\T_{y}\;\mathrm {comp.\ alg.\ de\ {\overrightarrow {T}}\ sur\ } {\vec {y}}\;\\T_{z}\;\mathrm {comp.\ alg.\ de\ {\overrightarrow {T}}\ sur\ } {\vec {z}}\;\\\end{cases}}$

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}{\begin{cases}{\mathcal {M}}_{t}\;\mathrm {composante\ alg{\acute {e}}brique\ de\ {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{t}}}\ sur\ } {\vec {x}}\\{\mathcal {M}}_{fy}\;\mathrm {comp.\ alg.\ de\ {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{f}}}\ sur\ } {\vec {y}}\;\\{\mathcal {M}}_{fz}\;\mathrm {comp.\ alg.\ de\ {\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{f}}}\ sur\ } {\vec {z}}\;\\\end{cases}}$

On peut donc écrire :

$\{{\mathcal {T}}_{Coh}\}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}N\;{\mathcal {M}}_{t}\\T_{y}\;{\mathcal {M}}_{fy}\\T_{z}\;{\mathcal {M}}_{fz}\\\end{Bmatrix}}_{R}$

Les composantes algébriques varient en fonction de la position du centre de surface G de la section droite fictive (S). La représentation graphiques des fonctions ($N(x),T_{y}(x),\ldots \;$) donne les diagrammes des composantes des éléments de réduction en G du torseur de cohésion.