Géométrie descriptive/Changement de plan

Le changement de plan est l'opération qui consiste à projeter une figure sur un plan différent. Cette méthode est utilisée en général :

  • pour faciliter une construction ; par exemple, si l'on fait l'intersection d'un solide avec un plan, on choisit un plan de projection perpendiculaire au plan de coupe ;
  • pour voire des figures planes en vraie grandeur, c'est-à-dire que l'on peut mesurer directement les longueurs sur le dessin.

Plan de profil zx et correspondance de vues modifier

 
Utilisation du plan de profil zx

Il peut être utile de travailler avec une troisième projection selon le plan  , appelé « plan de profil » P. Ce plan est rabattu sur la figure en le faisant tourner autour de l'axe vertical ; ainsi, la ligne de terre est la même.

Soit un point M, avec m sa projection sur  , m' sa projection sur   et m'' sa projection sur   :

  • m'' est à la même hauteur que m' (cote z) ;
  • la coordonnée c est verticale pour m et est horizontale pour m'' ; on peut reporter cette coordonnée graphiquement, soit en utilisant un quart de cercle, soit en utilisant une droite à 45 °.

Cette projection correspond à la vue de droite en dessin industriel.

Projection sur un plan vertical modifier

 
Changement du plan vertical

Considérons par exemple que l'on veut projeter sur un plan vertical ; cela consiste à changer de point de vue en tournant autour de l'axe vertical  . On parle aussi de « changement de plan frontal », puisque l'on conserve le plan horizontal .

Sur la figure ci-contre, le point M se projette en m et m'. Le plan horizontal reste le même, on décide donc de rabattre le plan vertical sur le plan horizontal ; m reste inchangé.

Le nouveau plan de projection est défini par sa trace avec le plan horizontal ; cette trace définit la nouvelle ligne de terre LT'. La droite (mm'' ) est perpendiculaire à LT', comme à l'habitude.

La distance de m'' à LT' correspond à la cote z, puisque le nouveau plan est également vertical. Donc, pour trouver m'', il suffit de reporter la cote (distance de m' à LT) sur la perpendiculaire à LT' passant par m.

On peut reporter la cote en plaçant les axes z (sur le plan frontal) et z'' (sur le nouveau plan, perpendiculaire à LT').

Projection sur un plan frontal modifier

On veut maintenant projeter sur un plan frontal. On parle de « changement de plan horizontal », puisque l'on se sert du plan frontal pour faire la projection (donc on conserve celui-ci).

Projection sur un plan quelconque modifier

Si le nouveau plan de projection n'est ni vertical, ni horizontal, il faut faire une double changement de plan : projections successives sur des plans vertical et frontal.

Méthode de la droite carrée modifier

 
Méhtode de la droite carrée.

Lorsque l'on cherche la vraie grandeur d'un segment de droite [AB] quelconque, on peut de contenter de tracer un triangle rectangle dont la base est la longueur projetée sur le plan horizontal, l = ab, et la hauteur est la différence de cote entre les projections sur le plan frontal, l' = a' et b'. On fait un changement de plan uniquement pour ce segment.

On trace un secteur angulaire droit (deux demies droites perpendiculaires), appelé « droite carrée », et l'on reporte les longueurs sur les demies droites. On trace l'hypoténuse, et on mesure sa longueur ; c'est la vraie grandeur (VG) de [AB].

Applications modifier

Trouver l'angle d'un plan avec l'horizontale modifier

Nous voulons mesurer, au rapporteur, l'angle α que fait un plan avec l'horizontale, c'est-à-dire :

  • l'angle que fait une ligne de plus grande pente avec la droite horizontale qui lui est coplanaire, ou bien encore
  • le complémentaire de l'angle que fait la ligne de plus grande pente avec la verticale, ou bien
  • l'angle que fait la normale au plan avec la verticale.

En géométrie descriptive, on s'intéresse à la première solution, qui est plus intuitive.

Les cas d'un plan vertical (α = 90 °) ou horizontal (α = 0 °) sont triviaux : se trace sur le plan vertical   est respectivement verticale ou horizontale.

Plan parallèle à y modifier

 
Trouver l'angle avec l'horizontale d'un plan parallèle à l'axe y.

Lorsque le plan est parallèle à l'axe y (mais ni horizontal, ni vertical), ses traces sont parallèles à la ligne de terre LT. Pour voir le plan en bout, il faut le projeter sur le plan de profil  . On trace la ligne charnière verticale LV. L'intersection de la trace sur le plan horizontal (π) avec l'axe  , A, se rabat avec un arc de cercle en a''. L'intersection de la trace sur le plan vertical (π') avec l'axe  , B, est sa propre projection. La trace (π'') sur le plan de profil   est donc la droite (a'' B).

On mesure ainsi l'angle  .

Plan quelconque modifier

 
Trouver l'angle d'un plan avec l'horizontale.

Soit un plan Π défini par ses traces (π) et (π') ; ce plan n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à l'axe yy. On veut trouver sa ligne de plus grande pente.

Pour cela, il suffit de faire un changement de plan vertical en prenant le plan Π1 perpendiculaire à Π : sa trace horizontale (π1) est perpendiculaire à la trace (π) ; c'est aussi la ligne de terre LT'. Le plan Π est vu en bout selon Π1.

On trace donc une droite (π1) = LT' perpendiculaire à LT, à un endroit arbitraire.

L'intersection de Π et de Π1 (en bleu) est une ligne de plus grande pente de Π ; cette droite est (AB) :

  • A est l'intersection de (π) et (π1) ;
  • B est l'intersection de (π') et (π1'), sa projection b' sur le plan horizontal   est sur LT ; c'est l'intersection de LT et de LT'.

La droite (AB) se projette en (π1) sur le plan horizontal  , et en (π1') sur le plan frontal  .

Le point A appartient au plan de projection Π1, donc il est son propre projeté sur Π1. Le point B se projette en b'' sachant que :

  • (bb'' ) est perpendiculaire à LT' (ligne de rappel) ;
  • bB = bb'' (distances).

Ainsi, la droite (Ab'' ) est la projection de (AB) sur Π1 ; l'angle   est l'angle en vraie grandeur (VG) que fait la ligne de plus grande pente avec l'horizontale.


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