Géométrie descriptive/Changement de plan
Le changement de plan est l'opération qui consiste à projeter une figure sur un plan différent. Cette méthode est utilisée en général :
- pour faciliter une construction ; par exemple, si l'on fait l'intersection d'un solide avec un plan, on choisit un plan de projection perpendiculaire au plan de coupe ;
- pour voire des figures planes en vraie grandeur, c'est-à-dire que l'on peut mesurer directement les longueurs sur le dessin.
Plan de profil zx et correspondance de vues
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Il peut être utile de travailler avec une troisième projection selon le plan , appelé « plan de profil » P. Ce plan est rabattu sur la figure en le faisant tourner autour de l'axe vertical ; ainsi, la ligne de terre est la même.
Soit un point M, avec m sa projection sur , m' sa projection sur et m'' sa projection sur :
- m'' est à la même hauteur que m' (cote z) ;
- la coordonnée c est verticale pour m et est horizontale pour m'' ; on peut reporter cette coordonnée graphiquement, soit en utilisant un quart de cercle, soit en utilisant une droite à 45 °.
Cette projection correspond à la vue de droite en dessin industriel.
Projection sur un plan vertical
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Considérons par exemple que l'on veut projeter sur un plan vertical ; cela consiste à changer de point de vue en tournant autour de l'axe vertical . On parle aussi de « changement de plan frontal », puisque l'on conserve le plan horizontal .
Sur la figure ci-contre, le point M se projette en m et m'. Le plan horizontal reste le même, on décide donc de rabattre le plan vertical sur le plan horizontal ; m reste inchangé.
Le nouveau plan de projection est défini par sa trace avec le plan horizontal ; cette trace définit la nouvelle ligne de terre LT'. La droite (mm'' ) est perpendiculaire à LT', comme à l'habitude.
La distance de m'' à LT' correspond à la cote z, puisque le nouveau plan est également vertical. Donc, pour trouver m'', il suffit de reporter la cote (distance de m' à LT) sur la perpendiculaire à LT' passant par m.
On peut reporter la cote en plaçant les axes z (sur le plan frontal) et z'' (sur le nouveau plan, perpendiculaire à LT').
Projection sur un plan frontal
modifierOn veut maintenant projeter sur un plan frontal. On parle de « changement de plan horizontal », puisque l'on se sert du plan frontal pour faire la projection (donc on conserve celui-ci).
Projection sur un plan quelconque
modifierSi le nouveau plan de projection n'est ni vertical, ni horizontal, il faut faire une double changement de plan : projections successives sur des plans vertical et frontal.
Méthode de la droite carrée
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Lorsque l'on cherche la vraie grandeur d'un segment de droite [AB] quelconque, on peut de contenter de tracer un triangle rectangle dont la base est la longueur projetée sur le plan horizontal, l = ab, et la hauteur est la différence de cote entre les projections sur le plan frontal, l' = a' et b'. On fait un changement de plan uniquement pour ce segment.
On trace un secteur angulaire droit (deux demies droites perpendiculaires), appelé « droite carrée », et l'on reporte les longueurs sur les demies droites. On trace l'hypoténuse, et on mesure sa longueur ; c'est la vraie grandeur (VG) de [AB].
Applications
modifierTrouver l'angle d'un plan avec l'horizontale
modifierNous voulons mesurer, au rapporteur, l'angle α que fait un plan avec l'horizontale, c'est-à-dire :
- l'angle que fait une ligne de plus grande pente avec la droite horizontale qui lui est coplanaire, ou bien encore
- le complémentaire de l'angle que fait la ligne de plus grande pente avec la verticale, ou bien
- l'angle que fait la normale au plan avec la verticale.
En géométrie descriptive, on s'intéresse à la première solution, qui est plus intuitive.
Les cas d'un plan vertical (α = 90 °) ou horizontal (α = 0 °) sont triviaux : se trace sur le plan vertical est respectivement verticale ou horizontale.
Plan parallèle à y
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Lorsque le plan est parallèle à l'axe y (mais ni horizontal, ni vertical), ses traces sont parallèles à la ligne de terre LT. Pour voir le plan en bout, il faut le projeter sur le plan de profil . On trace la ligne charnière verticale LV. L'intersection de la trace sur le plan horizontal (π) avec l'axe , A, se rabat avec un arc de cercle en a''. L'intersection de la trace sur le plan vertical (π') avec l'axe , B, est sa propre projection. La trace (π'') sur le plan de profil est donc la droite (a'' B).
On mesure ainsi l'angle .
Plan quelconque
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Soit un plan Π défini par ses traces (π) et (π') ; ce plan n'est ni parallèle, ni perpendiculaire à l'axe yy. On veut trouver sa ligne de plus grande pente.
Pour cela, il suffit de faire un changement de plan vertical en prenant le plan Π1 perpendiculaire à Π : sa trace horizontale (π1) est perpendiculaire à la trace (π) ; c'est aussi la ligne de terre LT'. Le plan Π est vu en bout selon Π1.
On trace donc une droite (π1) = LT' perpendiculaire à LT, à un endroit arbitraire.
L'intersection de Π et de Π1 (en bleu) est une ligne de plus grande pente de Π ; cette droite est (AB) :
- A est l'intersection de (π) et (π1) ;
- B est l'intersection de (π') et (π1'), sa projection b' sur le plan horizontal est sur LT ; c'est l'intersection de LT et de LT'.
La droite (AB) se projette en (π1) sur le plan horizontal , et en (π1') sur le plan frontal .
Le point A appartient au plan de projection Π1, donc il est son propre projeté sur Π1. Le point B se projette en b'' sachant que :
- (bb'' ) est perpendiculaire à LT' (ligne de rappel) ;
- bB = bb'' (distances).
Ainsi, la droite (Ab'' ) est la projection de (AB) sur Π1 ; l'angle est l'angle en vraie grandeur (VG) que fait la ligne de plus grande pente avec l'horizontale.
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