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Ressources suggérées : physique
Outils mathématiques
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Description des systèmes
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En situation microcanonique
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Description : l’énergie
E
{\displaystyle E}
N
{\displaystyle N}
Probabilité microcanonique :
p
i
=
1
Ω
{\displaystyle p_{i}={\frac {1}{\Omega }}}
Distribution d'une variable interne
Densité d'états de particules libres
Densité d'états de particules classiques indépendantes En situation canonique
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Description : l'énergie
E
{\displaystyle E}
N
{\displaystyle N}
Probabilité canonique :
p
i
=
1
Z
e
−
β
E
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{i}}}
Fonction de partition :
Z
=
∑
i
e
−
β
E
i
{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}}
Énergie moyenne :
E
¯
=
−
∂
ln
Z
∂
β
{\displaystyle {\bar {E}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}}
Capacité calorifique
Entropie canonique :
S
=
k
B
ln
Z
−
k
B
β
∂
ln
Z
∂
β
{\displaystyle S=k_{B}\ln Z-k_{B}\beta {\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}}
Énergie libre :
F
=
E
−
T
S
{\displaystyle F=E-TS}
Pression canonique :
p
=
∂
F
∂
V
|
T
,
V
{\displaystyle p=\left.{\frac {\partial F}{\partial V}}\right|_{T,V}}
Potentiel chimique canonique :
μ
=
∂
F
∂
N
|
T
,
V
{\displaystyle \mu =\left.{\frac {\partial F}{\partial N}}\right|_{T,V}}
Distribution d'une variable interne En situation grand-canonique
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Description : l’énergie
E
{\displaystyle E}
N
{\displaystyle N}
Probabilité grand-canonique :
p
i
=
1
Z
e
−
β
E
i
+
α
N
i
{\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{i}+\alpha N_{i}}}
Grande fonction de partition :
Z
=
∑
i
e
−
β
E
i
+
α
N
i
=
∑
N
e
α
N
i
Z
N
{\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}+\alpha N_{i}}=\sum _{N}e^{\alpha N_{i}}Z_{N}}
Z
N
{\displaystyle Z_{N}}
N
{\displaystyle N}
Grand potentiel :
Φ
=
E
−
T
S
−
μ
N
{\displaystyle \Phi =E-TS-\mu N}
Nombre moyen de particules :
N
¯
=
∂
ln
Z
∂
α
{\displaystyle {\bar {N}}={\frac {\partial \ln Z}{\partial \alpha }}}
Energie moyenne :
E
¯
=
−
∂
ln
Z
∂
β
{\displaystyle {\bar {E}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}}
Pression grand-canonique :
p
=
−
∂
Φ
∂
V
|
T
,
μ
{\displaystyle p=-\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial V}}\right|_{T,\mu }}
Entropie grand-canonique :
S
=
−
∂
Φ
∂
T
|
V
,
μ
{\displaystyle S=-\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial T}}\right|_{V,\mu }}
Distribution d'une variable interne
situation des particules
De Bose-Einstein
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f
B
E
(
ϵ
,
T
)
=
1
exp
(
ϵ
−
μ
(
T
)
k
B
T
)
−
1
{\displaystyle f_{BE}(\epsilon ,T)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}-1}}}
f
F
D
(
ϵ
,
T
)
=
1
exp
(
ϵ
−
μ
(
T
)
k
B
T
)
+
1
{\displaystyle f_{FD}(\epsilon ,T)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}+1}}}
De Maxwell-Boltzmann
modifier
f
M
B
(
ϵ
,
T
)
=
exp
(
−
ϵ
−
μ
(
T
)
k
B
T
)
{\displaystyle f_{MB}(\epsilon ,T)=\exp {\left(-{\frac {\epsilon -\mu (T)}{k_{B}T}}\right)}}
Gaz parfait de fermions
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Nombre de particules
Énergie moyenne
Grand potentiel
Entropie
Pression
Énergie de Fermi
Énergie cinétique totale
Propriétés à basses températures
Propriétés à hautes températures Gaz parfait de bosons
modifier
Nombre de particules
Energie moyenne
Grand potentiel
Entropie
Pression
Température de Bose
Propriétés à T<Tb
Propriétés à T>Tb 
