Formulaire d'optique

Loi de Snell-Descartes

Si la lumière vient d'en haut: $n_{2}\cdot \sin i_{2}=n_{1}\cdot \sin i_{1}$ entraine

$i_{2}=\arcsin \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(i_{1})\right)$ ;

En sens inverse, si la lumière vient d'en bas: tant que i₂ ne dépasse pas l'angle $i_{2max}=\lambda =\arcsin \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \right)$ on a de la réfraction et on peut écrire :$i_{1}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\cdot \sin(i_{2})\right)$ ; si i₂>i_2max, alors on a de la réflexion totale.

Formules du dioptre sphérique

On montre que la relation sur les angles peut aux petits angles, c'est-à-dire dans des conditions de stigmatisme approché, s'écrire:

${\frac {n_{1}.CA_{1}}{SA_{1}}}={\frac {n_{2}.CA_{2}}{SA_{2}}}$

${\frac {n_{1}.(a_{1}-c)}{(a_{1}-s)}}={\frac {n_{2}.(a_{2}-c)}{(a_{2}-s)}}$

ce que l'on peut écrire après un peu d'algèbre :

${\frac {n_{1}}{(a_{1}-s)}}-{\frac {n_{2}}{(a_{2}-s)}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{(c-s)}}$

et en prenant comme origine le point S : ce qui revient à prendre s=0

${\frac {n_{1}}{a_{1}}}-{\frac {n_{2}}{a_{2}}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{c}}$

et en utilisant comme notation xo = a1, xi=a2, fo=n1 c/(n1-n2)et fi= - n2 c /(n1-n2):

$x_{i}={\frac {f_{i}*x_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}$ et de même:

$y_{i}={\frac {-f_{o}*y_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}$

Construction géométrique

Lentille

${\frac {n_{1}}{a_{1}}}-{\frac {n_{2}}{a_{2}}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{c_{1}}}$

et au deuxième dioptre

${\frac {n_{2}}{a_{2}}}-{\frac {n_{3}}{a_{3}}}={\frac {n_{2}-n_{3}}{c_{2}}}$

En additionnant ces deux formules :

${\frac {n_{1}}{a_{1}}}-{\frac {n_{3}}{a_{3}}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{c_{1}}}+{\frac {n_{2}-n_{3}}{c_{2}}}$

on obtient la formule des lentilles.

Si les milieux 1 et 3 sont de l'air, d'indice 1 (approxmativement), la formule se simplifie :

${\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{3}}}={\frac {1-n}{c_{1}}}+{\frac {n-1}{c_{2}}}={\frac {1}{f}}$

où

• a₁ et a₃ sont les abscisses de l'objet et de l'image après passage des deux dioptres qui constituent la lentille mince,
• f est l'abscisse du foyer objet et
• f′ = - f est l'abscisse du foyer image.

On trouve aussi comme notation dans les pays anglo-saxons :

• f_o l'abscisse du foyer objet,
• f_i= - f_o est l'abscisse du foyer image,

Si x_o et x_i sont les abscisses de l'objet et de l'image, alors

${\frac {1}{x_{o}}}-{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1-n}{c_{1}}}+{\frac {n-1}{c_{2}}}={\frac {1}{f_{o}}}={\frac {-1}{f_{i}}}$

c'est la formule dite de Descartes, qui avec deux lignes d'algèbre s'écrit :

$(x_{i}-f_{i})={\frac {f_{i}\times f_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}$

formule dite de Newton

On a

$x_{i}={\frac {f_{i}\times f_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}+f_{i}$

et donc

$x_{i}={\frac {f_{i}\times x_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}$ et de même: $y_{i}={\frac {-f_{o}\times y_{o}}{(x_{o}-f_{o})}}$

Relation de conjugaison d'une lentille mince