Fonctionnement d'un ordinateur/Le codage des nombres

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les ordinateurs actuels utilisent un codage binaire. Ce codage binaire ne vous est peut-être pas familier. Aussi, dans ce chapitre, nous allons apprendre comment coder des nombres en binaire. Nous allons commencer par le cas le plus simple : les nombres positifs. Par la suite, nous aborderons les nombres négatifs. Et nous terminerons par les nombres à virgules, appelés aussi nombres flottants.

Le codage des nombres entiers positifs

Pour coder des nombres entiers positifs, il existe plusieurs méthodes : le binaire, l’hexadécimal, le code Gray, le décimal codé binaire et bien d'autres encore. La plus connue est certainement le binaire, secondée par l'hexadécimal, les autres étant plus anecdotiques. Pour comprendre ce qu'est le binaire, il nous faut faire un rappel sur les nombres entiers tel que vous les avez appris en primaire, à savoir les entiers écrits en décimal. Prenons un nombre écrit en décimal : le chiffre le plus à droite est le chiffre des unités, celui à côté est pour les dizaines, suivi du chiffre des centaines, et ainsi de suite. Dans un tel nombre :

• on utilise une dizaine de chiffres, de 0 à 9 ;
• chaque chiffre est multiplié par une puissance de 10 : 1, 10, 100, 1000, etc. ;
• la position d'un chiffre dans le nombre indique par quelle puissance de 10 il faut le multiplier : le chiffre des unités doit être multiplié par 1, celui des dizaines par 10, celui des centaines par 100, et ainsi de suite.

Exemple avec le nombre 1337 :

$1337=1\times 1000+3\times 100+3\times 10+7\times 1$

Pour résumer, un nombre en décimal s'écrit comme la somme de produits, chaque produit multipliant un chiffre par une puissance de 10. On dit alors que le nombre est en base 10.

$1337=1\times 10^{3}+3\times 10^{2}+3\times 10^{1}+7\times 10^{0}$

Ce qui peut être fait avec des puissances de 10 peut être fait avec des puissances de 2, 3, 4, 125, etc : n'importe quel nombre entier strictement positif peut servir de base. En informatique, on utilise rarement la base 10 à laquelle nous sommes tant habitués. On utilise à la place deux autres bases :

• La base 2 (système binaire) : les chiffres utilisés sont 0 et 1 ;
• La base 16 (système hexadécimal) : les chiffres utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 ; auxquels s'ajoutent les six premières lettres de notre alphabet : A, B, C, D, E et F.

Le système binaire

En binaire, on compte en base 2. Cela veut dire qu'au lieu d'utiliser des puissances de 10 comme en décimal, on utilise des puissances de deux : n'importe quel nombre entier peut être écrit sous la forme d'une somme de puissances de 2. Par exemple 6 s'écrira donc 0110 en binaire : $0\times 2^{3}+1\times 2^{2}+1\times 2^{1}+0\times 2^{0}=6$. On peut remarquer que le binaire n'autorise que deux chiffres, à savoir 0 ou 1 : ces chiffres binaires sont appelés des bits (abréviation de Binary Digit). Pour simplifier, on peut dire qu'un bit est un truc qui vaut 0 ou 1. Pour résumer, tout nombre en binaire s'écrit sous la forme d'un produit entre bits et puissances de deux de la forme :

$a_{0}\times 2^{0}+a_{1}\times 2^{1}+a_{2}\times 2^{2}+a_{3}\times 2^{3}+a_{4}\times 2^{4}+...+a_{n}\times 2^{n}$

Les coefficients $a_{0},a_{1},a_{2}$ sont les bits, l'exposant n qui correspond à un bit $a_{n}$ est appelé le poids du bit.

La terminologie du binaire

En informatique, il est rare que l'on code une information sur un seul bit. Dans la plupart des cas, l'ordinateur manipule des nombres codés sur plusieurs bits. Les informaticiens ont donné des noms aux groupes de bits suivant leur taille. Le plus connu est certainement l'octet, qui désigne un groupe de 8 bits. Moins connu, on parle de nibble pour un groupe de 4 bits (un demi-octet), de doublet pour un groupe de 16 bits (deux octets) et de quadruplet pour un groupe de 32 bits (quatre octets).

Précisons qu'en anglais, le terme byte n'est pas synonyme d'octet. En réalité, le terme octet marche aussi bien en français qu'en anglais. Quant au terme byte, il désigne un concept complètement différent, que nous aborderons plus tard (c'est la plus petite unité de mémoire que le processeur peut adresser). Il a existé dans le passé des ordinateurs où le byte faisait 4, 7, 9, 16, voire 48 bits, par exemple. Il a même existé des ordinateur où le byte faisait exactement 1 bit ! Mais sur presque tous les ordinateurs modernes, un byte fait effectivement 8 bits, ce qui fait que le terme byte est parfois utilisé en lieu et place d'octet. Mais c'est un abus de langage, attention aux confusions ! Dans ce cours, nous parlerons d'octet pour désigner un groupe de 8 bits, en réservant le terme byte pour sa véritable signification.

À l'intérieur d'un nombre, le bit de poids faible est celui qui est le plus à droite du nombre, alors que le bit de poids fort est celui non nul qui est placé le plus à gauche, comme illustré dans le schéma ci-dessous.

Bit de poids fort.

Bit de poids faible.

Cette terminologie s'applique aussi pour les bits à l'intérieur d'un octet, d'un nibble, d'un doublet ou d'un quadruplet. Pour un nombre codés sur plusieurs octets, on peut aussi parler de l'octet de poids fort et de l'octet de poids faible, du doublet de poids fort ou de poids faible, etc.

La traduction binaire→décimal

Pour traduire un nombre binaire en décimal, il faut juste se rappeler que la position d'un bit indique par quelle puissance il faut le multiplier. Ainsi, le chiffre le plus à droite est le chiffre des unités : il doit être multiplié par 1 ($2^{0}$). Le chiffre situé immédiatement à gauche du chiffre des unités doit être multiplié par 2 ($2^{1}$). Le chiffre encore à gauche doit être multiplié par 4 ($2^{2}$), et ainsi de suite. Mathématiquement, on peut dire que le énième bit en partant de la droite doit être multiplié par $2^{n-1}$. Par exemple, la valeur du nombre noté 1011 en binaire est de $8\times 1+4\times 0+2\times 1+1\times 1=11$.

Value of digits in the Binary numeral system

La traduction décimal→binaire

La traduction inverse, du décimal au binaire, demande d'effectuer des divisions successives par deux. Les divisions en question sont des divisions euclidiennes, avec un reste et un quotient. En lisant les restes des divisions dans un certain sens, on obtient le nombre en binaire. Voici comment il faut procéder, pour traduire le nombre 34 :

Exemple d'illustration de la méthode de conversion décimal vers binaire.

L'hexadécimal

L’hexadécimal est basé sur le même principe que le binaire, sauf qu'il utilise les 16 chiffres suivants :

Chiffre hexadécimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Nombre décimal correspondant	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Notation binaire	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Dans les textes, afin de différencier les nombres décimaux des nombres hexadécimaux, les nombres hexadécimaux sont suivis par un petit h, indiqué en indice. Si cette notation n'existait pas, des nombres comme 2546 seraient ambigus : on ne saurait pas dire sans autre indication s'ils sont écrits en décimal ou en hexadécimal. Avec la notation, on sait de suite que 2546 est en décimal et que 2546h est en hexadécimal.

Dans les codes sources des programmes, la notation diffère selon le langage de programmation. Certains supportent le suffixe h pour les nombres hexadécimaux, d'autres utilisent un préfixe 0x ou 0h.

La conversion hexadécimal↔décimal

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, il suffit de multiplier chaque chiffre par la puissance de 16 qui lui est attribuée. Là encore, la position d'un chiffre indique par quelle puissance celui-ci doit être multiplié : le chiffre le plus à droite est celui des unités, le second chiffre le plus à droite doit être multiplié par 16, le troisième chiffre en partant de la droite doit être multiplié par 256 (16 * 16) et ainsi de suite. La technique pour convertir un nombre décimal vers de l’hexadécimal est similaire à celle utilisée pour traduire un nombre du décimal vers le binaire. On retrouve une suite de divisions successives, mais cette fois-ci les divisions ne sont pas des divisions par 2 : ce sont des divisions par 16.

La conversion hexadécimal↔binaire

La conversion inverse, de l'hexadécimal vers le binaire est très simple, nettement plus simple que les autres conversions. Pour passer de l'hexadécimal au binaire, il suffit de traduire chaque chiffre en sa valeur binaire, celle indiquée dans le tableau au tout début du paragraphe nommé « Hexadécimal ». Une fois cela fait, il suffit de faire le remplacement. La traduction inverse est tout aussi simple : il suffit de grouper les bits du nombre par 4, en commençant par la droite (si un groupe est incomplet, on le remplit avec des zéros). Il suffit alors de remplacer le groupe de 4 bits par le chiffre hexadécimal qui correspond.

Les quatre opérations arithmétiques de base en binaire

Maintenant que l'on sait coder des nombres en binaire normal, il est utile de savoir comment faire les quatre opérations usuelles en binaire. Par quatre opérations, je veux parler de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division. Ce qui est intéressant, c'est que les quatre opérations se font de la même manière en décimal et en binaire. La seule différence tient dans les tables d'addition et de multiplication qui deviennent beaucoup plus simples. Nous utiliserons les acquis de cette section dans la suite du chapitre, bien que de manière assez marginale. Sachez que nous ferons des rappels rapides quand nous parlerons des circuits électroniques qui font des opérations, comme les circuits additionneurs ou les circuits multiplieurs.

L'addition

L'addition se fait en binaire de la même manière qu'en décimal, sauf que l'on additionne des bits. Heureusement, la table d'addition est très simple en binaire :

• 0 + 0 = 0, retenue = 0 ;
• 0 + 1 = 1, retenue = 0 ;
• 1 + 0 = 1, retenue = 0 ;
• 1 + 1 = 0, retenue = 1 ;

Pour faire une addition en binaire, on additionne les chiffres/bits colonne par colonne, une éventuelle retenue est propagée à la colonne d'à côté.

Exemple d'addition en binaire.

La soustraction

Pour soustraire deux nombres entiers, on peut adapter l'algorithme de soustraction utilisé en décimal, celui que vous avez appris à l'école. Celui-ci ressemble fortement à l'algorithme d'addition : on soustrait les bits de même poids, et on propage éventuellement une retenue sur la colonne suivante. La retenue est soustraite, et non ajoutée. La table de soustraction nous dit quel est le résultat de la soustraction de deux bits. La voici :

• 0 - 0 = 0 ;
• 0 - 1 = 1 et une retenue ;
• 1 - 0 = 1 ;
• 1 - 1 = 0.

Soustraction en binaire, avec les retenues en rouge.

La multiplication

La multiplication se fait en binaire de la même façon qu'on a appris à le faire en primaire, si ce n'est que la table de multiplication est modifiée. Et les tables de multiplication sont vraiment très simples en binaire, jugez plutôt !

• 0 × 0 = 0.
• 0 × 1 = 0.
• 1 × 0 = 0.
• 1 × 1 = 1.

Pour poursuivre, petite précision de vocabulaire : une multiplication s'effectue sur deux nombres, le multiplicande et le multiplicateur. Une multiplication génère des résultats temporaires, chacun provenant de la multiplication du multiplicande par un chiffre du multiplicateur : ces résultats temporaires sont appelés des produits partiels. Multiplier deux nombres en binaire demande de générer les produits partiels, de les décaler, avant de les additionner. Voici un exemple :

Algebra1 05 fig019

La division

En binaire, l'opération de division ressemble beaucoup à l’opération de multiplication. L'algorithme le plus simple que l'on puisse créer pour exécuter une division consiste à faire la division exactement comme en décimal. Pour simplifier, la méthode de division est identique à celle de la multiplication, si ce n'est que les additions sont remplacées par des soustractions.

Division en binaire.

Interlude propédeutique : la capacité d'un entier et les débordements d'entiers

Dans la section précédente, nous avons vu comment coder des entiers positifs en binaire ou dans des représentations proches. La logique voudrait que l'on aborde ensuite le codage des entiers négatifs. Mais nous allons déroger à cette logique simple, pour des raisons pédagogiques. Nous allons faire un interlude qui introduira des notions utiles pour la suite du chapitre. De plus, ces concepts seront abordés de nombreuses fois dans ce wikilivre et l'introduire ici est de loin la solution idéale.

Les ordinateurs manipulent des nombres codés sur un nombre fixe de bits

Vous avez certainement déjà entendu parler de processeurs 32 ou 64 bits. Et si vous avez joué aux jeux vidéos durant votre jeunesse et êtes assez agé, vous avez entendu parler de consoles de jeu 8 bits, 16 bits, 32 bits, voire 64 bits (pour la Jaguar, et c'était un peu trompeur). Derrière cette appellation qu'on retrouvait autrefois comme argument commercial dans la presse se cache un concept simple. Tout ordinateur manipule des nombres entiers dont le nombre de bits est toujours le même : on dit qu'ils sont de taille fixe. Une console 16 bits manipulait des entiers codés en binaire sur 16 bits, pas un de plus, pas un de moins. Pareil pour les anciens ordinateurs 32 bits, qui manipulaient des nombres entiers codés sur 32 bits.

Aujourd'hui, les ordinateurs modernes utilisent presque un nombre de bits qui est une puissance de 2 : 8, 16, 32, 64, 128, 256, voire 512 bits. Mais cette règle souffre évidemment d'exceptions. Aux tout débuts de l'informatique, certaines machines utilisaient 3, 7, 13, 17, 23, 36 et 48 bits ; mais elles sont aujourd'hui tombées en désuétude. De nos jours, il ne reste que les processeurs dédiés au traitement de signal audio, que l'on trouve dans les chaînes HIFI, les décodeurs TNT, les lecteurs DVD, etc. Ceux-ci utilisent des nombres entiers de 24 bits, car l'information audio est souvent codée par des nombres de 24 bits.

Anecdote amusante, il a existé des ordinateurs de 1 bit, qui sont capables de manipuler des nombres codés sur 1 bit, pas plus. Un exemple est le Motorola MC14500B, commercialisé de 1976.

Le lien entre nombre de bits et valeurs codables

Évidemment, on ne peut pas coder tous les entiers possibles et imaginables avec seulement 8 bits, ou 16 bits. Et il parait intuitif que l'on ait plus de valeurs codables sur 16 bits qu'avec 8 bits, par exemple. Plus le nombre de bits est important, plus on pourra coder de valeurs entières différentes. Mais combien de plus ? Par exemple, si je passe de 8 bits à 16 bits, est-ce que le nombre de valeurs que l'on peut coder double, quadruple, pentuple ? De même, combien de valeurs différentes on peut coder avec $n$ bits. Par exemple, combien de nombres différents peut-on coder avec 4, 8 ou 16 bits ? La section précédente vous l'expliquer.

Avec $n$ bits, on peut coder $2^{n}$ valeurs différentes, dont le $0$, ce qui fait qu'on peut compter de $0$ à $2^{n}-1$. N'oubliez pas cette formule : elle sera assez utile dans la suite de ce tutoriel. Pour exemple, on peut coder 16 valeurs avec 4 bits, qui vont de 0 à 15. De même, on peut coder 256 valeurs avec un octet, qui vont de 0 à 255. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples communs.

Nombre de bits	Nombre de valeurs codables
4	16
8	256
16	65 536
32	4 294 967 296
64	18 446 744 073 709 551 615

Inversement, on peut se demander combien de bits il faut pour coder une valeur quelconque, que nous noterons N. Pour cela, il faut utiliser la formule précédente, mais à l'envers. On cherche alors $n$ tel que $N=2^{n}$. L'opération qui donne $n$ est appelée le logarithme, et plus précisément un logarithme en base 2, noté $\log _{2}{(X)}$. Le problème est que le résultat du logarithme ne tombe juste que si le nombre X est une puissance de 2. Si ce n'est pas le cas, le résultat est un nombre à virgule, ce qui n'a pas de sens pratique. Par exemple, la formule nous dit que pour coder le nombre 13, on a besoin de 3,70043971814 bits, ce qui est impossible. Pour que le résultat ait un sens, il faut arrondir à l'entier supérieur. Pour l'exemple précédent, les 3,70043971814 bits s'arrondissent en 4 bits.

Le lien entre nombre de chiffres hexadécimaux et valeurs codables

Maintenant, voyons combien de valeurs peut-on coder avec $n$ chiffres hexadécimaux. La réponse n'est pas très différente de celle obtenue en binaire, si ce n'est qu'il faut remplacer le 2 par un 16 dans la formule précédente. Avec $n$ chiffres hexadécimaux, on peut coder $16^{n}$ valeurs différentes, dont le $0$, ce qui fait qu'on peut compter de $0$ à $16^{n}-1$. Le tableau ci-dessous donne quelques exemples communs.

Nombre de chiffres héxadécimaux	Nombre de valeurs codables
1 (4 bits)	16
2 (8 bits)	256
4 (16 bits)	65 536
8 (32 bits)	4 294 967 296
16 (64 bits)	18 446 744 073 709 551 615

Inversement, on peut se demander combien faut-il de chiffres hexadécimaux pour coder une valeur quelconque en hexadécimal. La formule est là encore la même qu'en binaire, sauf qu'on remplace le 2 par un 16. Pour trouver le nombre de chiffres hexadécimaux pour encoder un nombre X, il faut calculer $\log _{16}{(X)}$. Notons que le logarithme utilisé est un logarithme en base 16, et non un logarithme en base 2, comme pour le binaire. Là encore, le résultat ne tombe juste que si le nombre X est une puissance de 16 et il faut arrondir à l'entier supérieur si ce n'est pas le cas.

Une propriété mathématique des logarithmes nous dit que l'on peut passer d'un logarithme en base X et à un logarithme en base Y avec une simple division, en utilisant la formule suivante :

$\log _{X}{(N)}={\log _{Y}{(N)} \over \log _{Y}(X)}$

Dans le cas qui nous intéresse, on a Y = 2 et X = 16, ce qui donne :

$\log _{16}{(N)}={\log _{2}{(N)} \over \log _{2}(16)}$

Or, $\log _{2}(16)$ est tout simplement égal à 4, car il faut 4 bits pour coder la valeur 16. On a donc :

$\log _{16}{(N)}={\log _{2}{(N)} \over 4}$

En clair, il faut quatre fois moins de chiffres hexadécimaux que de bits, ce qui est assez intuitif vu qu'il faut 4 bits pour coder un chiffre hexadécimal.

Les débordements d'entier

On vient de voir que tout ordinateur manipule des nombres dont le nombre de bits est toujours le même : on dit qu'ils sont de taille fixe. Et cela limite les valeurs qu'il peut encoder, qui sont comprise dans un intervalle bien précis. Mais que ce passe-t-il si jamais le résultat d'un calcul ne rentre pas dans cet intervalle ? Par exemple, pour du binaire normal, que faire si le résultat d'un calcul atteint ou dépasse $2^{n}$ ? Dans ce cas, le résultat ne peut pas être représenté par l'ordinateur et il se produit ce qu'on appelle un débordement d'entier.

On peut imaginer d'autres codages pour lesquels les entiers ne commencent pas à zéro ou ne terminent pas à $2^{n}-1$. On peut prendre le cas où l'ordinateur gère les nombres négatifs, par exemple. Dans le cas général, l'ordinateur peut coder les valeurs comprises dans un intervalle, qui va de la valeur la plus basse $N_{\text{min}}$ à la valeur la plus grande $N_{\text{max}}$. Et encore une fois, si un résultat de calcul sort de cet intervalle, on fait face à un débordement d'entier.

La valeur haute de débordement désigne la première valeur qui est trop grande pour être représentée par l'ordinateur. Par exemple, pour un ordinateur qui peut coder tous les nombres entre 0 et 7, la valeur haute de débordement est égale à 8. Pour les nombres entiers, la valeur haute de débordement vaut $N_{\text{max}}+1$, avec $N_{\text{max}}$ la plus grande valeur codable par l'ordinateur.

On peut aussi définir la valeur basse de débordement, qui est la première valeur trop petite pour être codée par l'ordinateur. Par exemple, pour un ordinateur qui peut coder tous les nombres entre 8 et 250, la valeur basse de débordement est égale à 7. Pour les nombres entiers, la valeur basse de débordement vaut $N_{\text{min}}-1$, avec $N_{\text{min}}$ la plus petite valeur codable par l'ordinateur.

La gestion des débordements d'entiers

Face à un débordement d'entier, l'ordinateur peut utiliser deux méthodes : l'arithmétique saturée ou l'arithmétique modulaire.

L'arithmétique saturée consiste à arrondir le résultat pour prendre la plus grande ou la plus petite valeur. Si le résultat d'un calcul dépasse la valeur haute de débordement, le résultat est remplacé par le plus grand entier supporté par l'ordinateur. La même chose est possible quand le résultat est inférieur à la plus petite valeur possible, par exemple lors d'une soustraction : l'ordinateur arrondit au plus petit entier possible.

Pour donner un exemple, voici ce que cela donne avec des entiers codés sur 4 bits, qui codent des nombres de 0 à 15. Si je fais le calcul 8 + 9, le résultat normal vaut 17, ce qui ne rentre pas dans l'intervalle. Le résultat est alors arrondi à 15. Inversement, si je fais le calcul 8 - 9, le résultat sera de -1, ce qui ne rentre pas dans l'intervalle : le résultat est alors arrondi à 0.

Exemple de débordement d'entier sur un compteur mécanique quelconque. L'image montre clairement que le compteur revient à zéro une fois la valeur maximale dépassée.

L'arithmétique modulaire est plus compliquée et c'est elle qui va nous intéresser dans ce qui suit. Pour simplifier, imaginons que l'on décompte à partir de zéro. Quand on arrive à la valeur haute de débordement, on recommence à compter à partir de zéro. L'arithmétique modulaire n'est pas si contre-intuitive et vous l'utilisez sans doute au quotidien. Après tout, c'est comme cela que l'on compte les heures, les minutes et les secondes. Quand on compte les minutes, on revient à 0 au bout de 60 minutes. Pareil pour les heures : on revient à zéro quand on arrive à 24 heures. Divers compteurs mécaniques fonctionnent sur le même principe et reviennent à zéro quand ils dépassent la plus grande valeur possible, l'image ci-contre en montrant un exemple.

Mathématiquement, l'arithmétique modulaire implique des divisions euclidiennes, celles qui donnent un quotient et un reste. Lors d'un débordement, le résultat s'obtient comme suit : on divise le nombre qui déborde par la valeur haute de débordement, et que l'on conserve le reste de la division. Au passage, l'opération qui consiste à faire une division et à garder le reste au lieu du quotient est appelée le modulo. Prenons l'exemple où l'ordinateur peut coder tous les nombres entre 0 et 1023, soit une valeur haute de débordement de 1024. Pour coder le nombre 4563, on fait le calcul 4563 / 1024. On obtient : $4563=4\times 1024+467$. Le reste de la division est de 467 et c'est lui qui sera utilisé pour coder la valeur de départ, 4563. Le nombre 4563 est donc codé par la valeur 467 dans un tel ordinateur en arithmétique modulaire. Au passage, la valeur haute de débordement est toujours codée par un zéro dans ce genre d'arithmétique.

Les ordinateurs utilisent le plus souvent une valeur haute de débordement de $2^{n}$, avec n le nombre de bits utilisé pour coder les nombres entiers positifs. En faisant cela, l'opération modulo devient très simple et revient à éliminer les bits de poids forts au-delà du énième bit. Concrètement, l'ordinateur ne conserve que les n bits de poids faible du résultat : les autres bits sont oubliés. Par exemple, reprenons l'exemple d'un ordinateur qui code ses nombres sur 4 bits. Imaginons qu'il fasse le calcul $13+3$, soit 1101 + 0011 = 1 0000 en binaire. Le résultat entraîne un débordement d'entier et l'ordinateur ne conserve que les 4 bits de poids faible. Cela donne : 1101 + 0011 = 0000. Comme autre exemple l'addition 1111 + 0010 ne donnera pas 17 (1 0001), mais 1 (0001).

Les nombres entiers négatifs

Représentations signées, exemples sur 4 bits.

Passons maintenant aux entiers négatifs en binaire : comment représenter le signe moins ("-") avec des 0 et des 1 ? Eh bien, il existe plusieurs méthodes :

• la représentation en signe-valeur absolue ;
• la représentation en complément à un ;
• la représentation en complément à deux;
• la représentation par excès ;
• la représentation dans une base négative ;
• d'autres représentations encore moins utilisées que les autres.

La représentation en signe-valeur absolue

La solution la plus simple pour représenter un entier négatif consiste à coder sa valeur absolue en binaire, et rajouter un bit qui précise si c'est un entier positif ou un entier négatif. Par convention, ce bit de signe vaut 0 si le nombre est positif et 1 s'il est négatif. Avec cette technique, l'intervalle des entiers représentables sur N bits est symétrique : pour chaque nombre représentable en représentation signe-valeur absolue, son inverse l'est aussi. Ce qui fait qu'avec cette méthode, le zéro est codé deux fois : on a un -0, et un +0. Cela pose des problèmes lorsqu'on demande à notre ordinateur d'effectuer des calculs ou des comparaisons avec zéro.

Codage sur 4 bits en signe-valeur absolue

La représentation par excès

La représentation par excès consiste à ajouter un biais aux nombres à encoder afin de les encoder par un entier positif. Pour encoder tous les nombres compris entre -X et Y en représentation par excès, il suffit de prendre la valeur du nombre à encoder, et de lui ajouter un biais égal à X. Ainsi, la valeur -X sera encodée par zéro, et toutes les autres valeurs le seront par un entier positif. Par exemple, prenons des nombres compris entre -127 et 128. On va devoir ajouter un biais égal à 127, ce qui donne :

Valeur avant encodage	Valeur après encodage
-127	0
-126	1
-125	2
…	…
0	127
…	…
127	254
128	255

Les représentations en complément à un et en complément à deux

Les représentations en complément à un et en complément à deux sont deux représentations similaires. Leur idée est de remplacer chaque nombre négatif par un nombre positif équivalent, appelé le complément. Par équivalent, on veut dire que les résultats de tout calcul reste le même si on remplace le nombre négatif initial par son complément. Et pour faire cela, elles se basent sur les débordements d'entier pour fonctionner, et plus précisément sur l'arithmétique modulaire abordée plus haut. Si on fait les calculs avec le complément, les résultats du calcul entraînent un débordement d'entier, qui sera résolu par un modulo. Et le résultat après modulo sera identique au résultat qu'on aurait obtenu avec le nombre négatif sans modulo. En clair, c'est la gestion des débordements qui permet de corriger le résultat de manière à ce que l'opération avec le complément donne le même résultat qu'avec le nombre négatif voulu. Ainsi, on peut coder un nombre négatif en utilisant son complément positif.

Cela ressemble beaucoup à la méthode de soustraction basée sur un complément à 9 pour ceux qui connaissent, sauf que c'est une version binaire qui nous intéresse ici.

La différence entre complément à un et à deux tient dans la valeur haute de débordement. Pour des nombres codés sur $n$ bits, la valeur haute de débordement est égale à $2^{n}$ en complément à deux, alors qu'elle est de $2^{n}-1$ en complément à un. De ce fait, la gestion des débordements est plus simple en complément à deux. Concrètement, lors d'un débordement d'entier, l'ordinateur ne conserve que les bits de poids faible du résultat : les autres bits sont oubliés. Par exemple, reprenons l'addition 13 + 3 vue précédemment. En binaire, cela donne : 1101 + 0011 = 1 0000. En ne gardant que les 4 bits de poids faible, on obtient : 1101 + 0011 = 0000. Comme autre exemple l'addition 1111 + 0010 ne donnera pas 17 (10001), mais 1 (0001).

Le calcul du complément

Voyons maintenant comment convertir un nombre décimal en représentation en complément. Précisons que la procédure de conversion est différente suivant que le nombre est positif ou négatif. Pour les nombres positifs, il suffit de les traduire en binaire, sans faire quoi que ce soit de plus. C'est pour les nombres négatifs que la procédure est différente et qu'il faut calculer le complément. La méthode pour déterminer le complément est assez simple. Prenons par exemple un codage sur 4 bits dont la valeur haute de débordement est de 16. Prenons l'addition de 13 + 3 = 16. Avec l'arithmétique modulaire, 16 est équivalent à 0, ce qui donne : 13 + 3 = 0 ! On peut aussi reformuler en disant que 13 = -3, ou encore que 3 = -13. Dit autrement, 3 est le complément de -13 pour ce codage. Et ne croyez pas que ça marche uniquement dans cet exemple : cela se généralise assez rapidement à tout nombre négatif.

Prenons un nombre négatif N et son complément à deux K. Dans ce qui suit, les additions modulo n seront notées comme suit : $(a+b){\text{mod n}}$. La notation se généralise aux autres opérations. Dans le cas général, on a :

$|N|+K={\text{Valeur haute de débordement}}$

On peut donc calculer le complément d'un nombre comme suit :

$K={\text{Valeur haute de débordement}}-|N|$

Ce qui donne, respectivement en complément à deux et à un :

$K_{2}=2^{n}-|N|$

$K_{1}=(2^{n}-1)-|N|$

On se retrouve alors avec des soustractions à faire, mais nous ne sommes pas encore armés pour. On pourrait étudier en détail la soustraction en binaire dans ce chapitre, mais il vaut mieux laisser cela à un chapitre ultérieur. Pour passer outre ce problème, nous allons voir que l'on peut simplifier le calcul dans le cas du complément à un. Puis, nous déduirons le cas du complément à deux à partir de celui du complément à un. Pour le moment, l'on a juste besoin de savoir que la soustraction en binaire se fait comme en décimal, à savoir colonne par colonne et avec une propagation de retenue. La seule différence est que la table de soustraction est différente (en clair, il faut juste savoir soustraire deux bits).

Pour le complément à un, la valeur $(2^{n}-1)$ est par définition un nombre dont tous les bits sont à 1. À cette valeur, on soustrait un nombre $|N|$ dont certains bits sont à 1 et d'autres à 0. En clair, pour chaque colonne, on a deux possibilités : soit on doit faire la soustraction $1-1$, soit la soustraction $1-0$. Or, les règles de l'arithmétique binaire disent que $1-1=0$ et $1-0=1$. En regardant attentivement, on se rend compte que le bit du résultat est l'inverse du bit de départ. De plus, les deux cas ne donnent pas de retenue : le calcul pour chaque bit n'influence pas les bits voisins. En clair, le complément à un s'obtient en codant la valeur absolue en binaire, puis en inversant tous les bits du résultat (les 0 se transforment en 1 et réciproquement). On a donc :

$K_{1}={\overline {|N|}}$

Pour le complément à deux, on peut utiliser le même raisonnement. Pour cela, reprenons l'équation précédente :

$K_{2}=2^{n}-|N|$

Elle peut se réécrire comme suit :

$K_{2}=(2^{n}-1)-|N|+1$

Or, : $(2^{n}-1)-|N|$ n'est autre que le complément à un, ce qui donne :

$K_{2}=K_{1}+1={\overline {N}}+1$

Pour résumer, on a :

$K_{2}={\overline {N}}+1$

En clair, le complément à deux s'obtient en prenant le complément à un et en ajoutant 1. Dit autrement, il faut prendre le nombre N, en inverser tous les bits et ajouter 1.

Une autre manière équivalente consiste à faire le calcul suivant :

$K_{2}={\overline {N-1}}$

On prend le nombre dont on veut le complément, on soustrait 1 et on inverse les bits.

Comparaison entre complément à un et à deux

Avec le complément à un, le zéro est codé deux fois, avec un zéro positif et un zéro négatif. Les calculs sont cependant légèrement plus simples qu'en complément à deux, notamment quand il faut calculer le complément. Remarquez qu'en complément à un, la valeur haute de débordement est le zéro négatif. Traduire en décimal un nombre en complément à un est assez facile : il suffit de le traduire comme on le ferait avec du binaire non-signé, mais en ne tenant pas compte du bit de poids fort. Le signe du résultat est indiqué par le bit de poids fort : 1 pour un nombre négatif et 0 pour un nombre positif.

Codage sur 4 bits en complément à 1.

Avec le complément à deux, le zéro n'est codé que par un seul nombre binaire. Le zéro négatif est remplacé par une valeur négative, par la plus petite valeur négative pour être précis. C'est un avantage suffisant pour que tous les ordinateurs utilisent cette représentation. Pour savoir quelle est la valeur décimale d'un entier en complément à deux, on utilise la même procédure que pour traduire un nombre du binaire vers le décimal, à un détail près : le bit de poids fort (celui le plus à gauche) doit être multiplié par la puissance de deux associée, mais le résultat doit être soustrait au lieu d'être additionné.

Codage sur 4 bits en complément à 2.

Avec les deux représentations, le bit de poids fort vaut 0 pour les nombres positifs et 1 pour les négatifs : il agit comme un bit de signe.

L'extension de signe

Dans nos ordinateurs, tous les nombres sont codés sur un nombre fixé et constant de bits. Ainsi, les circuits d'un ordinateur ne peuvent manipuler que des nombres de 4, 8, 12, 16, 32, 48, 64 bits, suivant la machine. Si l'on veut utiliser un entier codé sur 16 bits et que l'ordinateur ne peut manipuler que des nombres de 32 bits, il faut bien trouver un moyen de convertir notre nombre de 16 bits en un nombre de 32 bits, sans changer sa valeur et en conservant son signe. Cette conversion d'un entier en un entier plus grand, qui conserve valeur et signe s'appelle l'extension de signe. L'extension de signe des nombres positifs consiste à remplir les bits de poids fort avec des 0 jusqu’à arriver à la taille voulue : c'est la même chose qu'en décimal, où rajouter des zéros à gauche d'un nombre positif ne changera pas sa valeur. Pour les nombres négatifs, il faut remplir les bits à gauche du nombre à convertir avec des 1, jusqu'à obtenir le bon nombre de bits : par exemple, 1000 0000 (-128 codé sur 8 bits) donnera 1111 1111 1000 000 après extension de signe sur 16 bits. L'extension de signe d'un nombre codé en complément à 2 se résume donc en une phrase : il faut recopier le bit de poids fort de notre nombre à convertir à gauche de celui-ci jusqu’à atteindre le nombre de bits voulu.

La représentation négabinaire

Enfin, il existe une dernière méthode, assez simple à comprendre, appelée représentation négabinaire. Dans cette méthode, les nombres sont codés non en base 2, mais en base -2. Oui, vous avez bien lu : la base est un nombre négatif. Dans les faits, la base -2 est similaire à la base 2 : il y a toujours deux chiffres (0 et 1), et la position dans un chiffre indique toujours par quelle puissance de 2 il faut multiplier, sauf qu'il faudra ajouter un signe moins une fois sur 2. Concrètement, les puissances de -2 sont les suivantes : 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, etc. En effet, un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre positif, ce qui fait qu'une puissance sur deux est négative, alors que les autres sont positives. Ainsi, on peut représenter des nombres négatifs, mais aussi des nombres positifs dans une puissance négative.

Par exemple, la valeur du nombre noté 11011 en base -2 s'obtient comme suit :

…	-32	16	-8	4	-2	1
…	1	1	1	0	1	1

Sa valeur est ainsi de (−32×1)+(16×1)+(−8×1)+(4×0)+(−2×1)+(1×1)=−32+16−8−2+1=−25.

Les nombres à virgule

On sait donc comment sont stockés nos nombres entiers dans un ordinateur. Néanmoins, les nombres entiers ne sont pas les seuls nombres que l'on utilise au quotidien : il nous arrive d'en utiliser à virgule. Notre ordinateur n'est pas en reste : il est lui aussi capable de manipuler de tels nombres. Dans les grandes lignes, il peut utiliser deux méthodes pour coder des nombres à virgule en binaire : La virgule fixe et la virgule flottante.

Les nombres à virgule fixe

La méthode de la virgule fixe consiste à émuler les nombres à virgule à partir de nombres entiers. Un nombre à virgule fixe est codé par un nombre entier proportionnel au nombre à virgule fixe. Pour obtenir la valeur de notre nombre à virgule fixe, il suffit de diviser l'entier servant à le représenter par le facteur de proportionnalité. Par exemple, pour coder 1,23 en virgule fixe, on peut choisir comme « facteur de conversion » 1000, ce qui donne l'entier 1230.

Généralement, les informaticiens utilisent une puissance de deux comme facteur de conversion, pour simplifier les calculs. En faisant cela, on peut écrire les nombres en binaire et les traduire en décimal facilement. Pour l'exemple, cela permet d'écrire des nombres à virgule en binaire comme ceci : 1011101,1011001. Et ces nombres peuvent se traduire en décimal avec la même méthode que des nombres entier, modulo une petite différence. Comme pour les chiffres situés à gauche de la virgule, chaque bit situé à droite de la virgule doit être multiplié par la puissance de deux adéquate. La différence, c'est que les chiffres situés à droite de la virgule sont multipliés par une puissance négative de deux, c'est à dire par $1 \over 2$, $1 \over 4$, $1 \over 8$, $1 \over 16$, $1 \over 32$, ...

Cette méthode est assez peu utilisée de nos jours, quoiqu'elle puisse avoir quelques rares applications relativement connue. Un bon exemple est celui des banques : les sommes d'argent déposées sur les comptes ou transférées sont codés en virgule fixe. Les sommes manipulées par les ordinateurs ne sont pas exprimées en euros, mais en centimes d'euros. Et c'est une forme de codage en virgule fixe dont le facteur de conversion est égal à 100. La raison de ce choix est que les autres méthodes de codage des nombres à virgule peuvent donner des résultats imprécis : il se peut que les résultats doivent être tronqués ou arrondis, suivant les opérandes. Cela n'arrive jamais en virgule fixe, du moins quand on se limite aux additions et soustractions.

Les nombres flottants

Les nombres à virgule fixe ont aujourd'hui été remplacés par les nombres à virgule flottante, où le nombre de chiffres après la virgule est variable. Le codage d'un nombre flottant est basée sur son écriture scientifique. Pour rappel, en décimal, l’écriture scientifique d'un nombre consiste à écrire celui-ci comme un produit entre un nombre $a$ et une puissance de 10. Ce qui donne :

$a\times 10^{e}$, avec $a\in [1,10[$

Le nombre $a$ est appelé le significande et il est compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu). Cette contrainte garantit que l'écriture scientifique d'un nombre est unique, qu'il n'y a qu'une seule façon d'écrire un nombre en notation scientifique. Pour cela, on impose le nombre de chiffre à gauche de la virgule et le plus simple est que celui-ci soit égal à 1. Mais il faut aussi que celui-ci ne soit pas nul. En effet, si on autorise de mettre un 0 à gauche de la virgule, il y a plusieurs manières équivalentes d'écrire un nombre. Ces deux contraintes font que le significande doit être égal ou plus grand que 1, mais strictement inférieur à 10. Par contre, on peut mettre autant de décimales que l'on veut.

En binaire, c'est la même chose, mais avec une puissance de deux. Cela implique de modifier la puissance utilisée : au lieu d'utiliser une puissance de 10, on utilise une puissance de 2.

$a\times 2^{e}$, avec $a\in [1,2[$

Le significande est aussi altéré, au même titre que la puissance, même si les contraintes sont similaires à celles en base 10. En effet, le nombre $a$ ne possède toujours qu'un seul chiffre à gauche de la virgule, comme en base 10. Vu que seuls deux chiffres sont possibles (0 et 1) en binaire, on s'attend à ce que le chiffre situé à gauche de la virgule soit un zéro ou un 1. Mais rappelons que le chiffre à gauche doit être non-nul, pour les mêmes raisons qu'en décimal. En clair, le significande a forcément un bit à 1 à gauche de la virgule. Pour récapituler, l'écriture scientifique binaire d'un nombre consiste à écrire celui-ci sous la forme :

$1,m\times 2^{e}$, avec $m\in [0,1[$

La partie fractionnaire du nombre $a$, qu'on appelle la mantisse.

Écriture scientifique (anglais).

Traduire un nombre en écriture scientifique binaire

Pour déterminer l'écriture scientifique en binaire d'un nombre quelconque, la procédure dépend de la valeur du nombre en question. Tout dépend s'il est dans l'intervalle $[1,2[$, au-delà de 2 ou en-dessous de 1.

• Pour un nombre entre 1 (inclus) et 2 (exclu), il suffit de le traduire en binaire. Son exposant est 0.
• Pour un nombre au-delà de 2, il faut le diviser par 2 autant de fois qu'il faut pour qu'il rentre dans l’intervalle $a\in [1,2[$. L'exposant est alors le nombre de fois qu'il a fallu diviser par 2.
• Pour un nombre plus petit que 1, il faut le multiplier par 2 autant de fois qu'il faut pour qu'il rentre dans l’intervalle $a\in [1,2[$. L'exposant se calcule en prenant le nombre de fois qu'il a fallu multiplier par 2, et en prenant l'opposé (en mettant un signe - devant le résultat).

Le codage des nombres flottants et la norme IEEE 754

Pour coder cette écriture scientifique avec des nombres, l'idée la plus simple est d'utiliser trois nombres, pour coder respectivement la mantisse, l'exposant et un bit de signe. Coder la mantisse implique que le bit à gauche de la virgule vaut toujours 1, mais nous verrons qu'il y a quelques rares exceptions à cette règle. Quelques nombres flottants spécialisés, les dénormaux, ne sont pas codés en respectant les règles pour le significande et ont un 0 à gauche de la virgule. Un bon exemple est tout simplement la valeur zéro, que l'on peut coder en virgule flottante, mais seulement en passant outre les règles sur le significande. Toujours est-il que le bit à gauche de la virgule n'est pas codé, que ce soit pour les flottants normaux ou les fameux dénormaux qui font exception. On verra que ce bit peut se déduire en fonction de l'exposant utilisé pour encoder le nombre à virgule, ce qui lui vaut le nom de bit implicite. L'exposant peut être aussi bien positif que négatif (pour permettre de coder des nombres très petits), et est encodé en représentation par excès sur n bits avec un biais égal à $2^{n-1}-1$.

IEEE754 Format Général

Le standard pour le codage des nombres à virgule flottante est la norme IEEE 754. Cette norme va (entre autres) définir quatre types de flottants différents, qui pourront stocker plus ou moins de valeurs différentes.

Classe de nombre flottant	Nombre de bits utilisés pour coder un flottant	Nombre de bits de l'exposant	Nombre de bits pour la mantisse	Décalage
Simple précision	32	8	23	127
Double précision	64	11	52	1023
Double précision étendue	80 ou plus	15 ou plus	64 ou plus	16383 ou plus

IEEE754 impose aussi le support de certains nombres flottants spéciaux qui servent notamment à stocker des valeurs comme l'infini. Commençons notre revue des flottants spéciaux par les dénormaux, aussi appelés flottants dénormalisés. Ces flottants ont une particularité : leur bit implicite vaut 0. Ces dénormaux sont des nombres flottants où l'exposant est le plus petit possible. Le zéro est un dénormal particulier dont la mantisse est nulle. Au fait, remarquez que le zéro est codé deux fois à cause du bit de signe : on se retrouve avec un -0 et un +0.

Bit de signe	Exposant	Mantisse
0 ou 1	Valeur minimale (0 en binaire)	Mantisse différente de zéro (dénormal strict) ou égale à zéro (zéro)

Fait étrange, la norme IEEE754 permet de représenter l'infini, aussi bien en positif qu'en négatif. Celui-ci est codé en mettant l'exposant à sa valeur maximale et la mantisse à zéro. Et le pire, c'est qu'on peut effectuer des calculs sur ces flottants infinis. Mais cela a peu d'utilité.

Bit de signe	Exposant	Mantisse
0 ou 1	Valeur maximale	Mantisse égale à zéro

Mais malheureusement, l'invention des flottants infinis n'a pas réglé tous les problèmes. Par exemple, quel est le résultat de $\infty -\infty$ ? Ou encore $0-\infty$ ? Autant prévenir tout de suite : mathématiquement, on ne peut pas savoir quel est le résultat de ces opérations. Pour pouvoir résoudre ces calculs, il a fallu inventer un nombre flottant qui signifie « je ne sais pas quel est le résultat de ton calcul pourri ». Ce nombre, c'est NaN. NaN est l'abréviation de Not A Number, ce qui signifie : n'est pas un nombre. Ce NaN a un exposant dont la valeur est maximale, mais une mantisse différente de zéro. Pour être plus précis, il existe différents types de NaN, qui diffèrent par la valeur de leur mantisse, ainsi que par les effets qu'ils peuvent avoir. Malgré son nom explicite, on peut faire des opérations avec NaN, mais cela ne sert pas vraiment à grand chose : une opération arithmétique appliquée avec un NaN aura un résultat toujours égal à NaN.

Bit de signe	Exposant	Mantisse
0 ou 1	Valeur maximale	Mantisse différente de zéro

Les arrondis et exceptions

La norme impose aussi une gestion des arrondis ou erreurs, qui arrivent lors de calculs particuliers. En voici la liste :

Nom de l’exception	Description
Invalid operation	Opération qui produit un NAN. Elle est levée dans le cas de calculs ayant un résultat qui est un nombre complexe, ou quand le calcul est une forme indéterminée. Pour ceux qui ne savent pas ce que sont les formes indéterminées, voici en exclusivité la liste des calculs qui retournent NaN : $\infty -\infty$, $0\times \infty$, $0^{0}$, $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$.
Overflow	Résultat trop grand pour être stocké dans un flottant. Le plus souvent, on traite l'erreur en arrondissant le résultat vers Image non disponible ;
Underflow	Pareil que le précédent, mais avec un résultat trop petit. Le plus souvent, on traite l'erreur en arrondissant le résultat vers 0.
Division par zéro	Le nom parle de lui-même. La réponse la plus courante est de répondre + ou - l'infini.
Inexact	Le résultat ne peut être représenté par un flottant et on doit l'arrondir.

La gestion des arrondis pose souvent problème. Pour donner un exemple, on va prendre le nombre 0,1. En binaire, ce nombre s'écrit comme ceci : 0,1100110011001100... et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Notre nombre utilise une infinité de décimales. Bien évidemment, on ne peut pas utiliser une infinité de bits pour stocker notre nombre et on doit impérativement l'arrondir. Comme vous le voyez avec la dernière exception, le codage des nombres flottants peut parfois poser problème : dans un ordinateur, il se peut qu'une opération sur deux nombres flottants donne un résultat qui ne peut être codé par un flottant. On est alors obligé d'arrondir ou de tronquer le résultat de façon à le faire rentrer dans un flottant. Pour éviter que des ordinateurs différents utilisent des méthodes d'arrondis différentes, on a décidé de normaliser les calculs sur les nombres flottants et les méthodes d'arrondis. Pour cela, la norme impose le support de quatre modes d'arrondis :

• Arrondir vers + l'infini ;
• vers - l'infini ;
• vers zéro ;
• vers le nombre flottant le plus proche.

Les nombres flottants logarithmiques

Les nombres flottants logarithmiques sont une spécialisation des nombres flottants IEEE754, ou tout du moins une spécialisation des flottants écrits en écriture scientifique. Avec ces nombres logarithmiques, la mantisse est totalement implicite : tous les flottants logarithmiques ont la même mantisse, qui vaut 1. Seul reste l'exposant, qui varie suivant le nombre flottant. On peut noter que cet exposant est tout simplement le logarithme en base 2 du nombre encodé, d'où le nombre de codage flottant logarithmique donné à cette méthode. Un nombre logarithmique est donc composé d'un bit de signe et d'un exposant, sans mantisse. Attention toutefois : l'exposant est ici un nombre fractionnaire, ce qui signifie qu'il est codé en virgule fixe. Le choix d'un exposant fractionnaire permet de représenter pas mal de nombres de taille diverses.

	Bit de signe	Exposant
Représentation binaire	0	01110010101111
Représentation décimale	+	1040,13245464

L'utilité de cette représentation est de simplifier certains calculs, comme les multiplications, divisions, puissances, etc. En effet, les mathématiques de base nous disent que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes : $\ln {(a\times b)}=\ln {a}+\ln {b}$. Or, il se trouve que les ordinateurs sont plus rapides pour faire des additions/soustractions que pour faire des multiplications/divisions. On verra dans quelques chapitres que les circuits électroniques d'addition/soustraction sont beaucoup plus simples que les circuits pour multiplier et/ou diviser. Dans ces conditions, la représentation logarithmique permet de remplacer les multiplications/divisions par des opérations additives plus simples et plus rapides pour l'ordinateur. Évidemment, les applications des flottants logarithmiques sont rares, limitées à quelques situations bien précises (traitement d'image, calcul scientifique spécifiques).

Les encodages binaires alternatifs

Outre le binaire usuel que nous venons de voir, il existe d'autres manières de coder des nombres en binaires. Et nous allons les aborder dans cette section. Parmi celle-ci, nous parlerons du code Gray, mais aussi du fameux Binary Coded Decimal. Nous en parlons car elles seront utiles dans la suite du cours, bien que de manière assez limitée. Autant nous passerons notre temps à parler du binaire normal, autant les représentations que nous allons voir sont aujourd'hui assez peu utilisées. Le Binary Coded Decimal a eu son heure de gloire au début de l'informatique grand public, mais il est aujourd'hui obsolète. Les autres représentations sont utilisées dans des cas assez spécifiques, mais certaines sont plus courantes que vous ne le pensez.

Le Binary Coded Decimal

Le Binary Coded Decimal, abrévié BCD, est une représentation qui mixe binaire et décimal. Avec cette représentation, les nombres sont écrits en décimal, comme nous en avons l'habitude dans la vie courante, sauf que chaque chiffre décimal est directement traduit en binaire sur 4 bits. Prenons l'exemple du nombre 624 : le 6, le 2 et le 4 sont codés en binaire séparément, ce qui donne 0110 0010 0100.

Codage BCD

Nombre encodé (décimal)	BCD
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1

On peut remarquer que 4 bits permettent de coder 16 valeurs, là où il n'y a que 10 chiffres. Dans le BCD proprement dit, les combinaisons de bits qui correspondent à 10, 11, 12, 13, 14 ou 15 n'ont aucune utilité et ne sont tout simplement pas prises en compte. Sur beaucoup ordinateurs, ces combinaisons servaient à coder des chiffres décimaux en double : certains chiffres pouvaient être codés de deux manières différentes. Mais certaines variantes du BCD les utilisaient pour représenter d'autres symboles, comme un signe + ou - afin de gérer les entiers relatifs. De tels nombres relatifs étaient alors codés en utilisant la représentation en signe-magnitude. Une autre possibilité, complémentaire de la précédente, était d'utiliser ces valeurs en trop pour coder une virgule, afin de gérer les nombres non-entiers. En faisant cela, on utilise une technique spécifique au BCD, qui n'était ni la technique de la virgule fixe, ni l'encodage des nombres flottants vu plus haut.

Les variantes du BCD sont assez nombreuses. L'une d'entre elle est la représentation Excess-3. Avec elle, la conversion d'un chiffre décimal se fait comme suit : on prend le chiffre décimal, on ajoute 3, puis on traduit en binaire. L'avantage de cette représentation est que l'on peut facilement calculer les soustractions en utilisant une méthode bien précise (celle du complément à 10, je ne détaille pas plus). Le défaut est que le calcul des additions est légèrement plus complexe.

Codage en Excess-3

Nombre encodé (décimal)	BCD
0	0	0	1	1
1	0	1	0	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	0	1	1	1
5	1	0	0	0
6	1	0	0	1
7	1	0	1	0
8	1	0	1	1
9	1	1	0	0

D'autres variantes du BCD visent à réduire le nombre de bits utilisés pour encoder un nombre décimal. Avec certaines variantes, on peut utiliser seulement 7 bits pour coder deux chiffres décimaux, au lieu de 8 bits en BCD normal. Idem pour les nombres à 3 chiffres décimaux, qui prennent 10 bits au lieu de 12. Cette économie est réalisée par une variante du BCD assez compliquée, appelée l'encodage Chen-Ho. Une alternative, appelée le Densely Packed Decimal, arrive à une compression identique, mais avec quelques avantages au niveau de l'encodage. Ces encodages sont cependant assez compliqués à expliquer, surtout à ce niveau du cours, aussi je me contente de simplement mentionner leur existence.

Le BCD et ses variantes étaient utilisés sur les tous premiers ordinateurs pour faciliter le travail des programmeurs, mais aussi sur les premières calculettes. Le BCD est utile dans les applications où on doit manipuler chaque chiffre décimal séparément des autres. Un exemple classique est celui d'une horloge digitale. Il a aussi l'avantage de bien se marier avec les nombres à virgule. Comme nous le verrons plus tard, coder des nombres à virgule en binaire est loin d'être une chose facile et plusieurs représentations existent. Toutes ont le défaut que des arrondis peuvent survenir. Par exemple, la valeur 0,2 est codée comme suit en binaire normal : 0.00110011001100... et ainsi de suite jusqu’à l'infini. Avec le BCD, on n'a pas ce problème, 0,2 étant codé 0000 , 0010.

Le code Gray

Le code Gray est un encodage binaire qui a une particularité très intéressante : deux nombres consécutifs n'ont qu'un seul bit de différence. Pour exemple, voici ce que donne le codage des 8 premiers entiers sur 3 bits :

Décimal	Binaire naturel	Codage Gray
0	000	000
1	001	001
2	010	011
3	011	010
4	100	110
5	101	111
6	110	101
7	111	100

Le code Gray très utile dans certains circuits appelés les compteurs, qui mémorisent un nombre et l'incrémentent (+1) ou le décrémentent (-1) suivant les besoins de l'utilisateur. Imaginez par exemple un circuit qui compte le nombre de voitures dans un parking dans la journée. Pour cela, vous allez prendre un circuit qui détecte l'entrée d'une voiture, un autre pour détecter les sorties, et un compteur. Le compteur est initialisé à 0 quand le parking est vide, puis est incrémenté à chaque entrée de voiture, décrémenté à chaque sortie. A chaque instant, le compteur contient le nombre de voitures dans le parking. C'est là un exemple d'un compteur, mais les exemples où on a besoin d'un circuit pour compter quelque chose sont nombreux.

L'avantage du code Gray pour les compteurs est l'absence d'état transitoires douteux. En binaire normal, lorsqu'on passe d'un nombre au suivant, plusieurs bits changent. Il se passe la même chose avec un circuit compteur, qui change l'état de plusieurs bits. Le problème est que le circuit compteur met un certain temps avant de changer tous les bits, un temps généralement très court. Et pendant ce temps, tous les bits à modifier ne le sont pas en même temps. Typiquement, les bits de poids faibles sont modifiés avant les autres. Évidemment, à la fin du calcul, on obtient le résultat final, correct. Mais pendant le temps de calcul, le compteur peut se retrouver dans un état transitoire, où certains bits ont été modifiés mais pas les autres. Et c'est parfois un problème si le contenu de ce compteur est relié à des circuits assez rapides, qui peuvent, mais ne doivent pas voir cet état transitoire sous peine de dysfonctionner. L'usage de compteurs en code Gray permet d'éviter ce problème : vu que seul un bit est modifié lors d'une incrémentation/décrémentation, les états transitoires n'existent tout simplement pas.

Un autre détail est que ce code sera absolument nécessaire quand nous parlerons des tables de Karnaugh, un concept important pour la conception de circuits électroniques. Ne passez pas à côté de cette section.

Pour construire ce code Gray, on peut procéder en suivant plusieurs méthodes, les deux plus connues étant la méthode du miroir et la méthode de l'inversion.

Construction d'un code gray par la méthode du miroir.

La méthode du miroir est relativement simple. Pour connaître le code Gray des nombres codés sur n bits, il faut :

• partir du code Gray sur n-1 bits ;
• symétriser verticalement les nombres déjà obtenus (comme une réflexion dans un miroir) ;
• rajouter un 0 au début des anciens nombres, et un 1 au début des nouveaux nombres.

Il suffit de connaître le code Gray sur 1 bit pour appliquer la méthode : 0 est codé par le bit 0 et 1 par le bit 1.

Une autre méthode pour construire la suite des nombres en code Gray sur n bits est la méthode de l'inversion. Celle-ci permet de connaître le codage du nombre n à partir du codage du nombre n-1, comme la méthode du dessus. On part du nombre 0, systématiquement codé avec uniquement des zéros. Par la suite, on décide quel est le bit à inverser pour obtenir le nombre suivant, avec la règle suivante :

• si le nombre de 1 est pair, il faut inverser le dernier chiffre.
• si le nombre de 1 est impair, il faut localiser le 1 le plus à droite et inverser le chiffre situé à sa gauche.

Pour vous entraîner, essayez par vous-même avec 2, 3, voire 5.

La représentation one-hot

Dans le représentation one-hot, les nombres sont codés de manière à ce que un seul bit est à 1 pendant que les autres sont à 0. Cela laisse peu de valeurs possibles : pour N bits, on peut encoder seulement N valeurs. Les entiers sont codés de la manière suivante : le nombre N est encodé en mettant le énième bit à 1, avec la condition que l'on commence à compteur à partir de zéro. Dit autrement, le nombre encodé est égal au poids du bit à 1. Par exemple, si le bit de poids faible (celui de poids 0) est à 1, alors on code la valeur 0. Si le bit de poids numéro 1 est à 1, alors on code la valeur 1. Et ainsi de suite.

Décimal	Binaire	One-hot
0	000	00000001
1	001	00000010
2	010	00000100
3	011	00001000
4	100	00010000
5	101	00100000
6	110	01000000
7	111	10000000

Il est important de remarquer que dans cette représentation, le zéro est n'est PAS codé en mettant tous les bits à 0. Le zéro est codé en mettant le bit de poids faible à 1.

L'utilité de cette représentation n'est pas évidente. Mais sachez qu'elle le deviendra quand nous parlerons des circuits appelés les "compteurs", tout comme ce sera le cas pour le code Gray. Elle est très utilisée dans des circuits appelés des machines à état, qui doivent incorporer des circuits compteurs efficients. Et cette représentation permet d'avoir des circuits pour compter qui sont très simples, efficaces, rapides et économes en circuits électroniques.