Discussion:Algèbre/Fonctions et applications

Il ne faut pas confondre fonction et application!

• On défini d'abord une relation:

Pour tous ensembles $E$ et $F$, on appelle relation sur E et F tout triplet $(E,F,\Gamma )$ où $\Gamma \in E\times F$

• Puis une relation fonctionnelle, ou fonction:

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $R$ une relation sur $E$ et $F$.
$R$ est une relation fonctionnelle ssi $\forall x\in E,\forall y,z\in F,(xRy)\wedge (xRz)\Rightarrow y=z$

• Enfin une application:

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $R$ une relation fonctionnelle sur $E$ et $F$.
$R$ est une application ssi $\forall x\in E,\exists y\in F,xRy$

Une fonction n'est pas forcément une application.

A corriger!

--- [ce commentaire non signé a été ajouté le 16 mai 2005 à 19:28‎ par Utilisateur:LKenzo~frwikibooks

Je suis d'accord sur le fond. Concernant des détails:

(1) on voit aussi "relation de E vers F" plutôt que "sur E et F", en "anticipant" / tenant compte du fait qu'une fonction est une relation.

(2) Pour une relation en toute généralité (et dc en particulier pour fonctions et applications) on peut définir:

• le domaine (ou ensemble de définition) de f comme $D_{f}=\{x\in E\mid \exists y\in F:x~f~y\}=\Pi _{1}(\Gamma )$
• l'image de f comme $\operatorname {im} f=\{y\in F\mid \exists x\in E:x~f~y\}=\Pi _{2}(\Gamma )$

(Ce sont les projections du graphe sur la 1e resp. 2e composante, $\Pi _{i}(\Gamma )=\{x_{i};(x_{1},x_{2})\in \Gamma \}$

Avec ces définitions une fonction est une application ssi $D_{f}=E$ (en "dualité" avec: ... surjection ssi ${\rm {im}}f=F$). MFH (discussion) 1 décembre 2017 à 14:38 (CET)