Cosmologie/Les solutions statiques des équations de Friedmann

Les équations de Friedmann basiques nous disent une chose assez importante : l'univers est en expansion. La première équation de Friedmann donne la vitesse de l'expansion, la seconde donne l'accélération de l'expansion de l'univers. Elle nous dit si l'expansion accélère ou ralentit, en fonction de la densité de la pression de l'univers.

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}$

${\frac {a''}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}\right)$

Rien de surprenant en soi, nous savons aujourd'hui que l'univers est en expansion. Mais à l'époque où ces équations ont été déduites à partir de la relativité générale, c'était une surprise. L'expansion de l'univers n'était pas encore connue et la loi de Hubble n'avait pas encore été découverte. Le consensus commun de l'époque était que l'univers était statique et un univers en expansion paraissait contre-intuitif.

L'univers statique sans constante cosmologique

Pour avoir un univers statique, il faut que le facteur d'échelle soit constant, ce qui implique que $H(t)=0$, $a(t)'=0$ et $a(t)''=0$ à tout instant t. En injectant ces conditions dans les équations de Friedmann, on trouve :

${\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}=0$

$-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0$

Notez que l'équation du fluide de Friedmann disparait tout simplement. En effet, dans un univers statique, la matière n'est pas diluée, et donc la densité reste constante. Le terme avec la dérivée de la densité vaut donc 0. De plus, le facteur de Hubble vaut aussi zéro : tous les termes de l'équation valent zéro, ce qui fait disparaitre l'équation.

Les deux équations précédentes se simplifient, ce qui donne :

${\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}={\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}$

$\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}=0$

La première équation dit qu'un univers statique est possible, à condition que la courbure compense l'effet de la matière et du rayonnement. Ce qui est assez intuitif : la présence de matière/rayonnement fait s'effondrer l'univers sur lui-même sous l'effet de la gravité. Pour compenser cela, on doit avoir une courbure qui crée une expansion exactement opposée.

La seconde équation nous dit que si matière il y a, sa densité doit être compensée par sa pression. La matière doit donc avoir une pression négative, ce qui n'a pas de sens physique. Précisémment, il faut que l'équation qui relie densité et pression soit la suivante :

$P=-{\frac {1}{3}}\rho c^{2}$

L’univers statique d'Einstein : l'invention de la constante cosmologique

Les équations de Friedmann de base ne permettent pas d'avoir un univers statique sans recourir à des hypothèses physiques complètement tordues. Il fallait réconcilier un univers statique avec ces équations, ce qu'a fait Einstein. Il leur ajouta un terme censé corriger ce qui était un "problème" à l'époque. Pour obtenir un univers stationnaire (stable, sans expansion), il pris les équations de la relativité générale et ajouta un terme au bon endroit (dans le tenseur énergie-impulsion, pour les connaisseurs). Le terme $\Lambda$, ajouté aux équations de Friedmann, a reçu le nom de constante cosmologique. Les équations de Friedmann étaient alors modifiées, et sont devenues ceci :

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

${\frac {a''}{a}}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)$

L'ajout de la constante cosmologique modifie la dynamique des équations. Dans la première équation de Friedmann, la constante sert à compenser l'effet de la gravité. L'idée est que la somme courbure + constante cosmologique compense exactement la densité, ce qui annule l'expansion. En soi, on pouvait faire la même chose avec la courbure, mais avec un défaut : la courbure n'est pas présente dans la seconde équation de Friedmann, ce qui ne réglait qu'une partie du problème. Mais la constante cosmologique n'a pas ce problème. Elle est bien présente dans la seconde équation de Friedmann et peut compenser l'effet de la densité avec la valeur appropriée.

Pour un univers statique, on a :

${\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}=0$

${\frac {\Lambda c^{2}}{3}}-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)=0$

Le calcul de la valeur de la constante cosmologique pour un univers statique

La seconde équation se reformule alors comme suit :

${\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)$

On multiplie par ${\frac {3}{c^{2}}}$ :

$\Lambda ={\frac {4\pi G}{c^{4}}}(\rho _{e}+3P)$

Le calcul de la courbure pour un univers statique

Partons de la seconde équation de Friedmann avec constante cosmologique :

${\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)$

En injectant dans la première équation de Friedmann, on trouve :

${\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)=0$

On développe :

${\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}+{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(3P)=0$

On regroupe les termes et on simplifie :

${\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{e}+{\frac {4\pi G}{c^{2}}}P-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}=0$

On factorise et on réorganise les termes :

${\frac {4\pi G}{c^{2}}}(\rho _{e}+P)=k\cdot {\frac {c^{2}}{a^{2}}}$

Ce qui donne :

$k=a^{2}{\frac {4\pi G}{c^{4}}}(\rho _{e}+P)$

Le lien entre constante cosmologique et courbure dans le modèle d'Einstein

Les deux sections précédentes nous ont démontré les deux équations suivantes :

$k=a^{2}{\frac {4\pi G}{c^{4}}}(\rho _{e}+P)$

$\Lambda ={\frac {4\pi G}{c^{4}}}(\rho _{e}+3P)$

Si on suppose que la pression est négligeable, on peut combiner les deux équations précédentes pour trouver :

$\Lambda ={\frac {k}{a^{2}}}$

En clair, la constante cosmologique implique que l'univers soit courbe. L'obligation d'avoir un univers courbe est un des défauts des univers statiques avec constante cosmologique, mais il est loin d'être le seul. Mais dans les grandes lignes, tous ces défauts pointent vers un même problème : pour obtenir un univers statique, la valeur de la constante cosmologique et de la courbure doivent être minutieusement calibrées pour obtenir un univers statique. L'ensemble de ces défauts font que la constante cosmologique est une réponse imparfaite pour ceux qui veulent un univers statique avec les équations de Friedmann. Aussi, Einstein a abandonné son idée de constante cosmologique pour obtenir un univers statique.