Cosmologie/Les équations de Friedmann pour un univers vide

Grâce aux chapitres précédents, nous sommes enfin armés des équations de Friedmann, qui décrivent l'expansion de l'univers en fonction de sa masse, de sa courbure et de la constante cosmologique. Pour rappel, ces équations sont les suivantes :

$H^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

${\frac {d\rho }{dt}}+3H\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0$

${\frac {a''}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

Il est possible de résoudre ces équations dans des cas particuliers, le cas général étant trop compliqué. Autant on peut faire des simulations informatiques avec les équations générales, autant dériver des formules exactes n'est pas à notre portée. Pour se simplifier la vie, il est possible de négliger certains termes dans les équations. On peut par exemple négliger la constante cosmologique, ou négliger la courbure, voire négliger la pression. C'est ce que nous allons faire dans ce chapitre, ainsi que dans le suivant.

Dans ce chapitre, nous allons voir ce qu'il en est pour les univers vides, c'est à dire sans matière dedans, mais avec une constante cosmologique et/ou une courbure. Dans les équations, il suffit de poser que la densité et la pression sont nulles. Sous ces conditions, l'équation du fluide disparaît et les deux autres équations de Friedmann deviennent alors :

$H^{2}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}$

${\frac {a''}{a}}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

La disparition de l'équation du fluide est assez simple à comprendre. Cette équation décrit comment la matière et le rayonnement sont dilués par l'expansion. Mais sans matière et rayonnement, il n'y a rien à diluer avec l'expansion, et donc cette équation devient inutile. La dilution de la matière et du rayonnement avec l'expansion n'existant pas, on devine que cela a des conséquences sur la dynamique de l'expansion.

Résoudre ces équations dans le cas général, avec une courbure non-nulle et une constante cosmologique, est assez difficile et donne des équations relativement complexes. Mais il est beaucoup plus facile d'obtenir des résultats simples dans le cas où la courbure vaut soit 1, soit 0, soit -1. On obtient alors les résultats suivants :

$a(t)=\left\{{\begin{matrix}\cosh(Ht)\;si\;k=1\\\exp(Ht)\;si\;k=0\\\sinh(Ht)\;si\;k=-1\\\end{matrix}}\right.$

Dans ce qui va suivre, nous allons étudier des cas particuliers, pour lesquels obtenir des résultats est assez facile. Dans ce qui va suivre, nous allons étudier des cas particuliers qui sont faciles à traiter, à savoir :

• un univers sans courbure et sans constante cosmologique ;
• un univers avec courbure, mais sans constante cosmologique ;
• et un univers sans courbure, mais avec une constante cosmologique.

On peut se demander pourquoi étudier de tels univers hypothétiques, alors que l'univers n'est évidemment pas vide. Mais leur étude montre que les univers vides ont des propriétés intéressantes, qui ne sont pas respectées par les univers remplis de matière et/ou de rayonnement. Par exemple, les univers avec une courbure ont une croissance linéaire et sont les seuls dans ce cas ! Bref, commençons.

Le modèle cosmologique dominé par la courbure

Le premier modèle que nous allons voir est celui d'un univers vide, sans constante cosmologique. Les équations de Friedmann se simplifient alors fortement. L'équation du fluide et la deuxième équation disparaissent complètement, et il ne reste que la première. Voici le résultat :

$H^{2}=-k\cdot {\frac {c^{2}}{a^{2}}}$

On peut alors utiliser la formule $H={\frac {a'}{a}}$ :

${\frac {a'^{2}}{a^{2}}}=-k\cdot {\frac {c^{2}}{a^{2}}}$

On multiplie par $a^{2}$ :

${a'}^{2}=-k\cdot c^{2}$

On peut alors résoudre cette équation pour trouver une formule du type $a(t)=...$. Cependant, la résolution est légèrement différente selon que l'on ait une courbure positive ou une courbure négative. Il faut dire que résoudre l'équation précédente demande de prendre une racine carrée, ce qui se marie assez mal avec les nombres négatifs. Dans ce qui va suivre, nous allons d'abord voir le cas à courbure positive et nulle, avant de voir le cas à courbure négative.

L'univers dominé par une courbure nulle

Si on suppose une courbure nulle, on a :

$a'=0$

En intégrant, on trouve que :

$a(t)=K$, avec la constante $K={\sqrt {k}}\cdot c$.

Traduit en langage commun, cela signifie que l'univers est statique, sans expansion. Mais ce cas est celui d'un univers complètement vide, sans courbure, ni constante cosmologique, ni matière, ni rayonnement, ni quoique ce soit. La présence de matière ou de tout autre composant rend la solution instable et brise la stabilité de l'univers, sauf coïncidence extraordinaire et/ou choix bien précis de paramètres. Un univers statique n'existe donc que si l'effet de la matière est compensé par quelque chose ayant un effet inverse de même ampleur. Raison pour laquelle Einstein avait inventé la constante cosmologique, mais les calculs ne collaient pas vraiment...

L'univers dominé par une courbure positive

Pour étudier le cas d'une courbure positive mais non-nulle, repartons de l'équation précédente :

${a'}^{2}=-k\cdot c^{2}$

Prenons la racine carrée de l'équation précédente :

$a'=-{\sqrt {k}}\cdot c$

Pour simplifier les calculs, on utilise la constante K telle que $K={\sqrt {k}}\cdot c$ :

$a'=-K$

En intégrant, on trouve que :

$a(t)=a_{0}-K\cdot t$

L'univers est ici en décroissance linéaire.

L'univers dominé par une courbure négative

Pour étudier un univers à courbure négative, nous allons partir de l'équation suivante :

${a'}^{2}=-k\cdot c^{2}$

En supposant que la courbure est négative et est égale à $k=-|k|$, on a alors :

${a'}^{2}=-(-|k|)\cdot c^{2}$

Ce qui se simplifie en :

${a'}^{2}=|k|\cdot c^{2}$

En prenant la racine carrée, on a :

$a(t)'={\sqrt {|k|}}\cdot c$

Là encore, on pose $K={\sqrt {|k|}}\cdot c$ :

$a(t)'=K$

En intégrant, on trouve :

$a(t)=K\cdot t+a_{0}$

En négligeant la constante d'intégration $a_{0}$, on a alors :

$a(t)\approx K\cdot t$

Traduit en langage commun, cela veut dire que l'univers est en expansion linéaire, à rythme constant. Le modèle obtenu n'est autre que le modèle à expansion linéaire que nous avions étudié dans le chapitre "Introduction aux modèles cosmologiques".

Le modèle cosmologique dominé par l'énergie noire

Le cas suivant est celui d'un univers dominé par l'énergie noire, c'est à dire un univers avec de l'énergie noire, mais sans matière, ni rayonnement, ni courbure, ni quoique ce soit d'autre. Un tel univers hypothétique est appelé un univers de De Sitter. Sous ces hypothèses, les équations de Friedmann deviennent celles-ci :

$H^{2}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

${\frac {a''}{a}}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

Tous les paramètres de cette équation, $\Lambda$, c et les autres, sont tous constants, ce qui fait que le facteur de Hubble l'est aussi. Le fait que le facteur de Hubble est constant est à la base des développements mathématiques qui vont suivre.

Le calcul du facteur d'échelle

La constance du facteur de Hubble a des conséquences assez intéressantes, qui peuvent se déduire de la définition du facteur de Hubble. Pour rappel, la définition du facteur de Hubble en fonction du facteur d'échelle donne :

$H={\frac {1}{a(t)}}{\frac {da(t)}{dt}}$

Multiplions par $dt$ des deux côtés :

$H\cdot dt={\frac {da(t)}{a(t)}}$

Intégrons sur $t$ :

$\int _{t}H\cdot dt=\int _{t}{\frac {da(t)}{a(t)}}$

Dans le premier terme, H est une constante, ce qui donne :

$H\cdot \int _{t}dt=\int _{t}{\frac {da(t)}{a(t)}}$

Dans le second terme, l'intégrale $\int dt$ n'est autre que l'âge de l'univers. Dans ce qui suit, nous noterons l'âge de l'univers $t$. Le calcul de l'intégrale de droite donne :

$H\cdot t=\ln {a(t)}$

Prenons l'exponentielle des deux côtés :

$a(t)=e^{H\cdot t}$

En injectant l'équation $H={\sqrt {\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$, on a alors :

$a(t)=e^{{\sqrt {\frac {\Lambda }{3}}}ct}$

Remarques sur ce modèle

Dans ce modèle, le facteur d'échelle suit une relation exponentielle avec le temps. Il s'agit donc d'un cas particulier de modèle à croissance exponentielle, ces derniers ayant déjà été abordés dans le chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques". Tout ce qui a été dit sur ces modèles peut donc s'adapter à ce modèle d'univers dominé par l'énergie noire. Par exemple, leur facteur de décélération est toujours positif, égal à -1. Un tel univers va donc une croissance exponentiellement croissante, ce qui est beaucoup plus rapide que dans les deux prochains modèles, où la croissance est plus lente. Ce plus, on sait aussi qu'un tel l'univers a un âge infini : vu qu'une exponentielle ne peut être nulle, le facteur d'échelle et le volume de l'univers ne peuvent pas être nuls. Dit autrement : la singularité initiale est totalement évitée !