Cosmologie/Le fluide cosmologique

On peut modéliser l'ensemble matière + rayonnement comme un fluide non relativiste (en clair, un fluide dont la vitesse des particules est petite devant la vitesse de la lumière). Un tel fluide est gouverné par les équations de la mécanique des fluides, et on pourrait penser qu'il suffit de réutiliser les équations de la mécanique des fluides telles quelles. Cependant, les équations de la mécanique des fluides usuelle ne s'appliquent pas sans modifications, du fait de l'expansion de l'univers.

Pour comprendre pourquoi, il faut savoir que les équations de la mécanique des fluides décrivent l'évolution d'un petit volume infinitésimal de fluide, appelé particule de fluide. Ce volume est pris très très petit, de manière à donner l'illusion que le fluide est un milieu continu. Dans le cas de l'univers, le très très petit signifie une taille petite comparée à l'horizon cosmologique, ce qui fait que les volumes des particules fluides peuvent être extrêmement grands comparés à la normale. Dans ces conditions, tenir compte du volume des particules fluides est absolument primordial. Or, les équations de la mécanique des fluides "usuelle" sont démontrées en partant du principe que ce volume infinitésimal de fluide reste constant. Ce serait le cas si l'expansion de l'univers n'existait pas, mais l'expansion fait que ce volume augmente avec l'expansion. Et il en est de même avec la surface des particules fluides, ainsi que des distances parcourues par le fluide... Autant dire qu'il faudra donc redémontrer les équations de la mécanique des fluides pour tenir compte de ce phénomène.

Rappels sur les opérateurs vectoriels

Le gradient est aux vecteurs ce que la dérivée est aux scalaires/fonctions. Dans le cas des nombres, les deux se confondent d'ailleurs. $\operatorname {grad} {\vec {A}}=\nabla {\vec {A}}=\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}},{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}},{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}\right)$

La divergence est la somme des termes du gradient : $\operatorname {div} {\vec {(}}A)=\nabla \cdot {\vec {A}}={\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}$ On peut remarquer que sa notation $\nabla \cdot {\vec {A}}$ explicite bien la nature de la divergence. L'opérateur $\nabla$ n'est autre que l'opérateur gradient, alors que l'opérateur $\cdot$ signifie que l'on fait la somme de tous les termes d'un vecteur. Attention : l'opérateur $\cdot$ se place après le $\nabla$ dans l'écriture, mais il est en réalité appliqué après que le gradient ait été calculé. La divergence est un opérateur dit linéaire, ce qui veut dire que : La divergence d'une somme est la somme des divergences. $\operatorname {div} ({\vec {A}}+{\vec {B}})=\operatorname {div} ({\vec {A}})+\operatorname {div} ({\vec {B}})$ La divergence d'un multiple est le multiple de la divergence. $\operatorname {div} (f{\vec {A}})=f\cdot \operatorname {div} ({\vec {A}})+\nabla f\cdot {\vec {A}}$ Si f est un scalaire constant et uniforme, la formule précédente se simplifie et devient alors : $\operatorname {div} (f{\vec {A}})=f\cdot \operatorname {div} ({\vec {A}})$

Le laplacien est tout simplement la divergence du gradient. Ce qui revient à appliquer deux fois l'opérateur gradient, avant d'additionner les termes du vecteur obtenu. $\operatorname {div} (\operatorname {grad} {\vec {(}}A))=\nabla ^{2}\cdot {\vec {A}}={\frac {\partial ^{2}{A_{x}}}{\partial ^{2}{x}}}+{\frac {\partial ^{2}{A_{y}}}{\partial ^{2}{y}}}+{\frac {\partial ^{2}{A_{z}}}{\partial ^{2}{z}}}$

Les équations de conservation "usuelles"

Les trois équations de la mécanique des fluides sont des équations de conservation. Elles portent d'ailleurs les noms d'équation de conservation de la masse, d'équation de conservation de l'énergie et d'équation de conservation de la quantité de mouvement. Elles disent que la masse, l'énergie et la quantité de mouvement se conservent lors de l'évolution d'un fluide. Démontrer ces équations de conservation demande de simplement faire le bilan des variations, entrées et sorties de la particule fluide.

Variation interne + Entrées/sorties = ...

Le terme de variation interne est naturellement un terme de la forme :

${\frac {\partial x}{\partial t}}$

Le flux entrant/sortant d'une quantité $A$ se calcule en multipliant la vitesse par un opérateur appelé divergence, qui donne l'intégrale du flux entrant à travers la surface de la particule fluide :

$\operatorname {div} {\vec {A}}=\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}\right)$

Pour résumer, toute équation de la mécanique des fluides prend la forme suivante. Elle décrit une quantité A, entraînée à la vitesse v, et dont une quantité S est produite à chaque instant $t$ :

${\frac {\partial A}{\partial t}}+\nabla \cdot (A\cdot v)=S$

La conservation de la masse

Par exemple, l'équation de conservation de la masse s'établit en faisant la somme des entrées/sorties de masse du volume (flux entrant/sortant) et de la variation de la masse de la particule fluide (variation interne). Vu que la masse se conserve, toute variation interne de masse de la particule doit provenir d'un flux entrant ou sortant : la masse de la particule diminue avec un flux sortant et augmente avec un flux entrant. La somme des deux termes est nulle, ce qui traduit le fait que toute variation de ces grandeurs provient d'un flux égal à travers la surface du volume.

Vu qu'il n'y a pas de source de masse, on a l'équation suivante :

Variation interne = Flux entrant/sortant, ou encore : Variation interne + Entrées/sorties = 0.

On a donc :

${\frac {\partial m}{\partial t}}+\operatorname {div} (m\cdot {\vec {v}})=0$

En divisant le tout par le volume infinitésimal, on a :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho \cdot {\vec {v}})=0$

On peut sortir la densité des parenthèses :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot \operatorname {div} ({\vec {v}})=0$

La conservation de la quantité de mouvement

Pour la quantité de mouvement, les choses sont plus compliquées. Le fait est que du point de vue de la particule de fluide, les forces sont des sources de quantité de mouvement, qui donnent l'illusion que de la quantité de mouvement est créée. La somme entre variation interne et flux ne peut pas être nulle en présence de forces, celles-ci s'ajoutant à la quantité conservée de quantité de mouvement. Dans ce cas, la variation de quantité de mouvement et son flux sont causées par des forces, ce qui donne :

Variation interne + Entrées/sorties = Forces.

${\frac {\partial (mv)}{\partial t}}+\operatorname {div} (mv\cdot {\vec {v}})=F$

On suppose l'existence de deux forces : la force causée par le gradient de pression et la gravité. L'accélération liée à la gravité est elle-même liée à un gradient : le gradient du potentiel gravitationnel $\phi$. On a donc :

${\frac {\partial (mv)}{\partial t}}+\operatorname {div} (mv\cdot {\vec {v}})=\rho \cdot \nabla P+m\cdot \nabla (\Phi )$

La masse étant constante, on peut simplifier par celle-ci :

${\frac {\partial (v)}{\partial t}}+\operatorname {div} (v\cdot {\vec {v}})={\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi$

Les équations au complet

Il y a une équation de conservation pour la masse et la quantité de mouvement, à laquelle on pourrait ajouter une équation de conservation de l'énergie. À ces équations, il faut ajouter une équation qui décrit le champ de gravité.

En supposant que le volume de la particule fluide est constant, les équations obtenues sont alors les suivantes :

L'équation de conservation de la masse du fluide :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho (\nabla \cdot v)=0$

L'équation de bilan de la quantité de mouvement :

${\frac {\partial v}{\partial t}}+v(\nabla \cdot {\vec {v}})={\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi$

Les équations du fluide avec l'expansion

On peut retrouver les équations de Friedmann à partir des équations précédentes : il suffit d'utiliser l'équation $v=H\cdot r$, et de faire quelques manipulations algébriques. Dit autrement, on ne prend en compte que l'effet de l'expansion et on néglige l'effet des vitesses locales. Les équations se simplifient alors.

Dérivation de l'équation du fluide de Friedmann

Par exemple, prenons l'équation de conservation de la masse :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot \operatorname {div} ({\vec {v}})=0$

Injectons la loi de Hubble :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot \operatorname {div} (H\cdot {\vec {r}})=0$

Appliquons maintenant la définition de la divergence : $\operatorname {div} {\vec {A}}=\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}\right)$.

$\operatorname {div} H\cdot {\vec {r}}=\left(H\cdot {\frac {\partial {r}}{\partial {x}}}+H\cdot {\frac {\partial {r}}{\partial {y}}}+H\cdot {\frac {\partial {r}}{\partial {z}}}\right)=3H$

On a alors l'équation :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+3H\rho =0$

Cette équation ressemble à l'équation du fluide de Friedmann, bien qu'il manque la pression.

Dérivation de la seconde équation de Friedmann

La seconde équation de Friedmann se dérive en prenant la divergence de l'équation d'Euler et en utilisant l'équation dite de Poisson pour calculer le terme gravitationnel.

Mais avant de faire cela, nous devons simplifier l'équation d'Euler. Il nous faut notamment déterminer la valeur du terme $v\times (\nabla \cdot {\vec {v}})$. Il se trouve que la première équation de conservation nous a permis de déduire que :

$\operatorname {div} ({\vec {v}})=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-3H$

En injectant dans l'équation d'Euler, on trouve :

${\frac {\partial v}{\partial t}}-3H\cdot v={\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi$

Il ne reste plus qu'à prendre la divergence. De laborieux calculs permettent alors de retrouver la seconde équation de Friedmann.

Les équations de conservation en coordonnées comobiles

Pour décrire l'évolution du fluide dans un univers en expansion, il faut prendre en compte le fait que le volume de la particule fluide augmente avec le facteur d'échelle. Ce que les équations précédentes ne faisaient pas, supposant un volume constant. Les équations précédentes ne fonctionnent pas telles quelles. Par exemple, prenons l'équation de conservation de la masse et supposons qu'il n'y ait pas de flux entrant ou sortant de matière. On devrait avoir ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\operatorname {div} (\rho \cdot {\vec {v}})=0$. Cependant, l'expansion va faire gonfler la particule fluide, ce qui diluera son contenu : sa masse restant constante, sa densité va diminuer avec le temps, ce qui contredit l'équation précédente ! Les équations précédentes ne donnent pas une version correcte de la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie.

L'utilisation des coordonnées comobiles

On peut cependant remarquer que l'on peut utiliser des distances, vitesses et volumes comobiles pour résoudre ce problème. Le volume comobile de la particule fluide ne change pas avec l'expansion, pas plus que sa surface comobile ou sa vitesse comobile. Intuitivement, la densité comobile (masse / volume comobile) se comporte comme la densité dans les équations précédentes. Même chose pour les autres grandeurs comobiles. Cependant, les opérateurs divergence et gradient doivent tenir compte du fait qu'on travaille en coordonnées comobiles, ce qui demande de les reformuler. Nous allons donc devoir reformuler les équations de manière à utiliser des coordonnées comobiles $x=a{\overline {x}}$. La reformulation du gradient est assez simple :

$\nabla {\vec {A}}=\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {x}}},{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {y}}},{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {z}}}\right)=\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {(a\times {\overline {x}})}}},{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {(a\times {\overline {y}})}}},{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {(a\times {\overline {z}})}}}\right)={\frac {1}{a}}\left({\frac {\partial {A_{x}}}{\partial {\overline {x}}}},{\frac {\partial {A_{y}}}{\partial {\overline {y}}}},{\frac {\partial {A_{z}}}{\partial {\overline {z}}}}\right)={\frac {1}{a}}\nabla {\vec {A}}$

La divergence n'est que la somme des termes du gradient, ce qui donne :

$\nabla .{\vec {A}}={\frac {1}{a}}(\nabla .{\vec {\overline {A}}})$

Enfin, la vitesse à utiliser doit être la vitesse locale, à savoir :

$u=v-H\cdot r$

Sa dérivée est la suivante :

${\frac {du}{dt}}={\frac {dv}{dt}}-{\frac {d}{dt}}(H\cdot r)={\frac {dv}{dt}}-H{\frac {dr}{dt}}={\frac {dv}{dt}}-H\cdot u$

La reformulation des équations précédentes

Maintenant, reformulons les équations précédentes avec les opérateurs définis dans la section précédente.

Prenons la première équation, celle de la conservation de la masse du fluide.

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \times (\nabla \cdot v)=0$

La seule modification à faire est de remplacer la divergence usuelle par celle en coordonnées comobiles, ce qui demande juste de diviser par le facteur d'échelle a(t). On a alors :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\rho }{a}}(\nabla \cdot u)=0$

Modifions ensuite la seconde équation, celle de la conservation de l'impulsion, que voici :

${\frac {\partial v}{\partial t}}+v\times (\nabla \cdot {\vec {v}})={\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi$

Premièrement, on doit remplacer la dérivée, en utilisant l'équation ${\frac {du}{dt}}={\frac {dv}{dt}}-H\cdot u$. On a alors :

${\frac {du}{dt}}-H\cdot u+v\times (\nabla \cdot {\vec {v}})={\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi$

Ensuite, on divise par le facteur d'échelle a(t), ce qui permet de remplacer la vitesse usuelle par la vitesse comobile, sans compter que cela fait de même pour la divergence. On a alors :

${\frac {\partial u}{\partial t}}-Hu+{\frac {1}{a}}(u\cdot \nabla )u={\frac {1}{a}}\left({\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi \right)$

Pour résumer, on obtient les équations suivantes :

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\rho }{a}}(\nabla \cdot u)=0$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-Hu+{\frac {1}{a}}(u\cdot \nabla )u={\frac {1}{a}}\left({\frac {\nabla P}{\rho }}+\nabla \Phi \right)$