Certificat d'études (E-M)

Exercices de mathématiques

Sommaire

Le certificat d'études primaires est un examen français qui a eu son heure de gloire pendant près d'un siècle (env.1880 - 1980). L'épreuve de calcul était constituée de deux exercices ou problèmes de 8 et 12 points orientés plutôt vers l'économie domestique et rurale (calculs de coûts et de dépenses).

Les exercices 1 à 5 correspondent à des épreuves données en 1957, les exercices 6 à 8 présentent des structures d'exercices possibles dont les valeurs numériques sont arbitraires et ne correspondent pas vraiment à une situation de l'époque. Les solutions sont, dans la mesure du possible, présentées comme elles étaient attendues dans les années 50.

Exercice 1

I. Un automobiliste part à 8 h 55 de son domicile pour accomplir un parcours de 72 km à la vitesse moyenne de 60 km/h

1. À quelle heure pense-t-il arriver ?

2. Ayant accompli les 3/4 du trajet à cette vitesse, une panne lui fait perdre 10 min et il arrive finalement au but à 10 h 14. À quelle vitesse moyenne a-t-il roulé après la réparation ?

Solution

I. 1.
Pour parcourir 72 km à une vitesse moyenne de 60 km/h, l'automobiliste met 72 km ÷ 60 km/h = 1,2 h = 1h + 1/5 h = 1h 12 min L'automobiliste arrive donc à 8h 55 + 1h 12 = 10h 07	72|60 720|60 12|1 0|12
2. Les 3/4 de 72 km représentent ${\frac {72\times 3}{4}}$ = 18 × 3 = 54 km Pour parcourir 54 km, l'automobiliste met ${\frac {54}{60}}$h = ${\frac {54\times 60}{60}}$ min = 54 min L'heure de départ après la panne est 8 h 55 + 54 min + 10 min = 9 h 59 Il lui reste à parcourir 72 - 54 = 18 km Le temps de parcours est 10 h 14 - 9 h 59 = 15 min =${\frac {1}{4}}$ h La vitesse de parcours est donc de ${\frac {18\times 4}{1}}$ = 72 km/h

II. Le lait passé à l'écrémeuse donne 12% de son volume de crème et 3 litres de crème fournissent 1 kg de beurre. Un cultivateur traite 100 litres de lait en moyenne par 24 heures.

1. Combien retire-t-il de la vente du beurre obtenu en 30 j, le beurre valant 680 F le kg ?

2. Lorsqu'il écrémait à la main, le poids du beurre obtenu n'était que de 90% du poids du beurre qu'il obtient maintenant. Quel bénéfice mensuel réalise-t-il grâce à l'écrémeuse ?

3. L'écrémeuse a coûté 65 280 F. Combien devrait-il traiter de litres de lait par jour pour amortir le prix de son écrémeuse en cinq mois? (compter des mois de 30 jours)

Solution

II. 1. En 30 jours, le cultivateur traite : 30 × 100 = 3 000 litres de lait 3000 litres de lait donnent 3000 × 12 ÷ 100 = 360 litres de crème 360 litres de crème donnent 360 ÷ 3 = 120 kg de beurre
En vendant 120 kg de beurre à 680 F le kg, l'agriculteur retire de la vente 120 × 680 = 81 600 F	680 x 120 ----- 13600 680 ----- 81600
2. En écrémant à la main, l'agriculteur ne récoltait que 90% du beurre soit 120 × 90 ÷ 100 = 108 kg de beurre Il retirait de la vente 108 × 680 = 73 440 F Avec l'écrémeuse, il réalise un bénéfice mensuel de 81600 - 73440 = 8 160 F	680 81600 x 108 -73440 ----- ----- 5440 8160 6800 ----- 73440
3. Pour amortir son écrémeuse en 5 mois, le bénéfice réalisé par mois doit être de 65 280 ÷ 5 = 13 056 F Pour un bénéfice de 8160 F il faut traiter 100 litres par jour, pour un bénéfice de 13 056 F il faut traiter (règle de trois) ${\frac {100\times 13056}{8160}}$ = 160 litres par jour	65280|5 130560|816 15 |13056 4896 |160 2 | 00| 28 | 30| 0|

Exercice 2

I. Un élève a eu successivement aux compositions, 8/20 en français ; 11 en dictée et questions ; 10 en histoire ; 13 en sciences. Il lui reste à faire le calcul. Combien doit-il avoir au minimum, s'il vaut avoir à toutes les compositions une moyenne générale de 11,5 sur 20 ?

Solution

Pour avoir, aux 5 épreuves, une moyenne générale de 11,5, il faut avoir obtenu : 5 × 11,5 = 57,5 L'élève a déjà obtenu : 8 + 11 + 10 + 13 = 42 Il doit donc obtenir en calcul : 57,5 - 42 = 15,5 sur 20

II. Un groupe de 12 enfants décide de faire une sortie qui les oblige à manger au-dehors. Un hôtelier offre de leur fournir le repas à raison de 125 F par enfant. Mais, pour diminuer les frais, ils emportent un repas froid ; ils achètent ainsi 6 kg de pain à 51 F le kg, 3 boîtes de pâté à 75 F la boîte , 12 bouteilles de bière à raison de 40 F la bouteille et 2 kg de fruits à 130 F le kg. Ont-ils fait une économie ? Si oui, à combien s'élève-t-elle ? Si non, combien ont-ils perdu ?

Solution

Le prix que les enfants auraient payé à l'hôtelier est de 125 × 12 = 1 500 F	125 x 12 ---- 250 125 ---- 1500
Les 6 kg de pain ont coûté : 6 × 51 = 306 F Les 3 boîtes de pâté ont coûté : 3 × 75 = 225 F Les 12 bouteilles de bière ont coûté : 12 × 40 = 480 F Les 2 kg de fruits ont coûté : 2 × 130 = 260 F La dépense totale est donc de 306 + 225 + 480 + 260 = 1 271 Les enfants ont donc économisé : 1500 - 1271 = 229 F	306 225 480 260 ---- 1271

Exercice 3

I. Un restaurateur reçoit une bonbonne pleine d'huile dont le poids total est de 23,250 kg. Le poids spécifique de cette huile est de 0,915 kg par litre et la bonbonne vide pèse 2,750 kg. Le restaurateur met l'huile dans des bouteilles de 95 cl. Combien peut-il remplir de bouteilles ? En supposant exact le remplissage de ces bouteilles, quelle est la quantité d'huile (en litre) versée dans la dernière bouteille où le restaurateur achève de vider la bonbonne ? (les volumes seront calculés au cl près)

Solution

Le poids d'huile dans la bonbonne est de 23,250 - 2,750 = 20,500 kg Si 0,915 kg est le poids de 1 litre d'huile, dans 20,500 kg il y a 20,500 ÷ 0,915 = 22,40 litres	20500,00|915 2200 |22,40 370 0 | 4 00| 4 00|
Avec ses 22,40 litres, il peut remplir 22,40 ÷ 0,95 = 23 bouteilles pleines Il remplit alors une 24e bouteille avec 0,55 l	2240|95 340|23 55|

II. Sur un croquis à l'échelle 1/200, un jardin est représenté par un jardin de 15 cm au centre duquel un cercle de 2,5 cm de rayon figure un bassin creusé dans le jardin

1. Faites un croquis à l'échelle donnée

2. Quelle surface de bassin reste-t-il après creusement du bassin ?

3. Si ce bassin a 0,80 m de profondeur, quelle est sa capacité en hl ?

4. Pendant combien de temps faudra-t-il laisser ouvert un robinet d'alimentation qui fournit 40 l d'eau à la minute pour que le bassin, primitivement vide, soit rempli jusqu'à 10 cm du bord supérieur ? (on prendra π égal à 3,14 et on donnera le dernier résultat en h et min)

Solution

1. 2. Puisque 1 cm sur le croquis représentent 2 m alors 15 cm représentent 15 × 2 = 30 m La surface du terrain est donc 30 × 30 = 900 m² Le rayon de 2,5 cm représente 2,5 × 2 = 5 m La surface du bassin est donc π × 5 × 5 = 78,50 m² La surface de jardin est de 900 - 78,50 = 821,50 m²	3,14 x 25 ----- 15 70 62 8 ----- 78,50
3. La capacité du bassin est de 78,50 × 0,8 = 63 m3 soit 630 hl
4. La quantité d'eau à mettre dans le bassin est de 78,50 × 0,7 = 54,95 m3 soit 54 950 litres Pour remplir le bassin, à raison de 40 l à la mn, il faut 54950 ÷ 40 = 1 373 mn et il manque 30 li 1374 mn représente 1374 ÷ 60 = 22 h et 54 mn

Exercice 4

I. Un père de famille fait un voyage en auto avec sa femme et ses deux enfants. Ils parcourent 275 km. La voiture consomme 8,5 l d'essence et 0,25 l d'huile aux 100 km. L'essence vaut 78,4 F le litre et l'huile 525 F le bidon de 2 l. En chemin, la famille a pris un repas qui a coûté 450 F par personne. Quelle est la dépense totale ?

Solution

En 275 km, la voiture consomme 2,75 × 8,5 = 23,375 litres d'essence Le prix de l'essence consommée est donc de 78,4 × 23,375 = 1 832,60 F En 275 km, la voiture consomme 2,75 × 0,25 = 0,6875 litre d'huile Prix de l'huile consommée 0,6875 × 525 ÷ 2 = 180,47 F Les 4 repas ont coûté 4 × 450 = 1 800 F Le coût du voyage s'élève donc à 1832,60 + 180,47 + 1800 = 3 813,07 F

275 23375 x 85 x 784 ------ -------- 1375 93500 2200 187000 ------ 163625 23375 -------- 18326000 6875 x 2625 --------- 34375 13750 41250 13750 --------- 18046875

II. Une ménagère voudrait acheter une petite machine à laver dont le prix marqué est de 76 500 F. Si elle paie comptant, le commerçant lui fera une remise de 3 %. Si elle demande du crédit, il lui sera demandé de verser 12 % de la valeur de l'appareil à la commande, le reste étant payable en 15 mensualités de 5 000 F chacune.

1. Comparez la dépense dans les deux cas.

2. Pour bénéficier de la remise, elle décide d'acheter la machine au comptant. Comme elle dispose de 10 000 F, elle emprunte le reste qu'elle rembourse au bout de 15 mois avec l'intérêt escompté à 6 %. A-t-elle choisi la solution la plus avantageuse ?

Solution

1. Si elle paie au comptant, la ménagère déboursera 76 500 × 97 ÷ 100 = 74 205 F	765 x 97 ------ 5355 6885 ------- 74205
Si elle paie à crédit, elle doit verser d'abord 76 500 × 12 ÷100 = 9 180 F Puis les 15 mensualités de 5 000 F, soit 15 × 5 000 = 75 000 F L'appareil lui reviendra à 75 000 + 9 180 = 84 180 F En achetant la machine à laver à crédit, elle débourse 84 180 - 74205 = 9 975 F de plus que si elle l'achète au comptant	765 x 12 ------ 1530 765 ------ 9180
2. Pour acheter comptant, elle doit emprunter 74 205 - 10 000 = 64 205 F Le taux d'escompte pour 12 mois est de 6 % donc pour 15 mois, il est de : 6 × 15 ÷12 = 7,5 % Rem :les élèves du certificat d'études ne travaillent pas en intérêts composés Au bout de 15 mois, l'escompte sera de 64 205 × 7,5 ÷ 100 = 4 815,38 F L'appareil lui aura coûté 64 205 + 4 815,38 + 10 000 = 79 020,38 F Elle a donc tout intérêt à emprunter	64205 x 75 ------- 321025 448435 -------- 4815375

Exercice 5

I. Un terrain ayant la forme d'un trapèze rectangle est situé au bord d'une rivière. La hauteur mesure 33 m. Ce champ a été payé 134 640 F à raison de 600 000 F l'hectare. La rivière longe le côté du champ qui ne forme pas d'angle droit. Tout autour de ce champ, sauf du côté de la rivière, on place une clôture qui revient à 193 F le m. Quelle sera la dépense ?

Solution

La surface du champ est de 134 640 ÷ 600 000 = 0,2244 ha soit 2244 m² La hauteur du champ étant de 33 m, la demi-somme des bases est 2244 ÷ 33 = 68 m La longueur à clore est donc de 2 × 68 + 33 = 136 +33 = 169 m La dépense pour la clôture, à raison de 193 F le m est de 169 × 193 = 32 617 F

2244|33 264|68 0| 169 x 193 ----- 507 1521 169 ----- 32617

II. L'air pur contient 20% de son volume d'oxygène et pour ainsi dire pas de gaz carbonique. Par heure, une personne consomme 25 l d'oxygène et rejette par la respiration le même volume de gaz carbonique.

Une salle de classe contenant 43 élèves et leur maître mesure 8 m × 7 m × 3,5 m. Calculez :

1. Le poids de l'air qu'elle contient. ( 1 l d'air pèse 1,3 g)

2. Le nombre de litres d'oxygène disponibles dans la classe au moment de l'entrée en classe ; le nombre de litres d'oxygène consommés et le nombre de litres de gaz carbonique rejetés au bout d'une séance de 1 heure.

3. Quel est alors en volume, le pourcentage de gaz carbonique dans la salle ?

4. Quand la proportion de gaz carbonique dans l'air dépasse 1 %, on ressent des malaises. Au bout de combien de temps est-il par conséquent absolument nécessaire d'aérer la salle ?

Solution

1. Le volume de la pièce est de 3,5 × 8 × 7 = 28 × 7 = 196 m3 Si le poids de 1 l d'air est de 1,3 g, alors le poids de 1 m3 d'air est de 1,3 kg Le poids de 196 m3 est donc de 196 × 1,3 = 254,8 kg 2. Le nombre de litres d'oxygène disponible dans 196 m3 d'air est de : 196 000 × 20 ÷ 100 = 39 200 l Le nombre de litres d'oxygène consommés par les 44 personnes présentes dans la salle au bout d'une heure est 25 × 44 = 44 × 100 ÷ 4 = 1 100 l Le nombre de litres de gaz carbonique rejetés en 1 h est de 1 100 l	196 x 13 ---- 588 196 ---- 2548
3. Le pourcentage de gaz carbonique dans la salle est alors de 1 100 ÷ 196 000 × 100 = 0,56 %	110,00|196 12 00|0,56 24|
4. Le volume de gaz carbonique ne doit pas dépasser 196 000 × 1 ÷ 100 = 1 960 l Pour obtenir 1 960 l de gaz carbonique à raison de 1 100 l par heure il faut 1 960 ÷ 1 100 = 1 h 47 min Il faut aérer la pièce au plus tard au bout de 1 h 46 min	196|110 86 86|1 x 60 ---- 5160 5160|110 760|46 100|

Exercice 6

I. Un jardin mesure 25 m × 32 m. On construit deux allées de 1 m de large en forme de croix qui partagent le terrain en 4 parties égales . Quelle est la surface de chaque parcelle ? Quelle volume de gravier faut-il acheter pour en couvrir les allées sur une épaisseur de 5 cm ? (on pourra déplacer les allées)

Solution

En déplaçant les allées jusqu'au bord du terrain, il reste un terrain de dimensions 24 m × 31 m. La surface du terrain et de 24 × 31 = 744 m² Chaque parcelle a une superficie de 744 ÷ 4 = 186 m² La surface totale du terrain est de 25 × 32 = 32 × 100 ÷ 4 = 800 m² La surface d'allée à couvrir est donc 800 - 744 = 56 m² Le volume de gravier à prévoir est de 56 × 0,05 = 2,8 m3

24 x 31 ---- 24 72 ---- 744

II. Pour faire des confitures, votre grand-mère utilise 5 kg de prunes. Le lavage et le dénoyautage des fruits leur fait perdre 10 % de leur poids. On mélange les fruits avec les 4/5 de leur poids en sucre. La cuisson fait perdre 15 % du poids. On met ensuite la confiture dans des pots de 500 g.

1. Combien de pots pleins votre grand-mère peut-elle confectionner ?

2. Les prunes coûtent 1,10 € le kg et le sucre 1,20 € le kg. Si on néglige les dépenses dues à l'énergie nécessaire à la cuisson, quel est le prix de revient d'un pot ?

3. Combien de fruits votre grand-mère doit-elle acheter pour préparer 10 pots de confiture ?

Solution

1. Le poids des fruits dénoyautés est 5 × 90 ÷ 100 = 4,5 kg Il faut ajouter en sucre 4,5 × 4 ÷ 5 = 3,6 kg Le poids total avant cuisson est donc de 4,5 + 3,6 = 8,1 kg Le poids total après cuisson est alors de 8,1 × 85 ÷ 100 = 6,885 kg La grand-mère peut donc remplir 6,885 ÷ 0,5 = 13 pots + un pot de 385 g	81 x 85 ---- 405 648 ---- 6885
2. Le prix d'achat des fruits est de 5 × 1,1 = 5,5 € Le coût de sucre dépensé est 3,6 × 1,20 = 4,32 € Le prix dépensé pour 6,885 kg est de 5,5 + 4,32 = 9,82 € Le prix dépensé pour 0,500 kg est donc 9,82 ÷ 6,885 × 0,5 = 5,5 ÷ 13,77 = 0,71 € par pots	36 x 12 ---- 72 36 ---- 432 982 00|1377 18 10|0,71 4 33|
3. Il faut, pour 10 pots de confitures, 5 kg de confiture Avec 5kg de fruits, on fait 6,885 kg de confiture, donc pour 5kg de confiture il faut (règle de trois) 5 ÷ 6,885 × 5 = 5 ÷ 1,377 = 3,631 kg	5000 000|1377 869 0 |3,631 42 80 | 1 490| 113|

Exercice 7

I. Chez le boucher, vous achetez 800 g de viande à 14,90 € le kg, à l'épicerie, 500 g de beurre à 1,80 € le kg et 3 baguettes de pain à 0,70 € la baguette. Vous êtes partis avec un billet de 20 €. Combien aurez-vous au retour ?

Solution

La viande a coûté 0,8 × 14,90 = 11,92 € Le beurre a couté 0,5 × 1,8 = 0,90 € Le pain a coûté 3 × 0,70 = 2,10 € Le total de mes dépenses s'élèvent à 11,92 + 0,90 + 2,10 = 14,92 Il me reste 20 - 14,92 = 5,08 €

II. La distance Paris-Reims est de 155 km par le rail. Le train de marchandises Paris-Reims démarre de la gare de l'Est à 8 h 30 min et roule à la vitesse moyenne de 60 km/h. Un express part de Reims à 9 h 15 et roule à la vitesse moyenne de 90 km/h. À quelle heure et à quelle distance de Paris les trains se croiseront-ils?

Solution

Il s'écoule, entre le départ des deux trains 9 h 15 - 8 h 30 = 0 h 45 min ou 3/4 d'heure En 3/4 d'heure le train de marchandise a parcouru 60 ÷ 4 × 3 = 45 km La distance entre les deux trains est de 155 - 45 = 110 km Les deux trains roulent en sens contraire, donc leurs vitesses s'ajoutent 60 + 90 = 150 km/h Le temps qui s'écoule jusqu'à leur point de rencontre est 110 ÷ 150 = 0 h 44 min L'heure du point de rencontre est de 9 h 15 + 0 h 44 = 9 h 59 Le train de marchandises a encore roulé pendant 44 min soit 60 × 44 ÷ 60 = 44 km Il est alors à une distance de Paris de 45 + 44 = 89 km

110 6600|150 x 60 600|44 ---- 0| 6600

Exercice 8

I. Un apprenti gagne 18 € par jour et travaille 216 j par an. Les transports lui reviennent à 26 € par mois. Les jours où il travaille, le repas de midi lui coûte 5 €. À condition d'économiser 50 % de ce qu'il lui reste de son salaire, au bout de combien de mois pourra-t-il s'acheter un scooter de 690 € ? (On estime que les 216 jours sont répartis également sur chaque mois)

Solution

L'apprenti travaille 216 ÷ 12 = 18 j par mois Les repas de midi s'élèvent à 18 × 5 = 90 € Son salaire mensuel est de 18 × 18 = 324 € Le total de ses dépenses est 90 + 26 = 116 € Il lui reste par mois 324 - 116 = 208 € En économisant 104 € par mois, il pourra acheter son scooter de 690 € en 690 ÷ 104 = 7 mois

216|12 18 96|18 x 18 0| ---- 144 18 ---- 324 690|104 64|6

II. On cherche à rénover une pièce de 4,20 m × 3,50 m dont la hauteur sous plafond est de 2,60 m. Les rouleaux de papier choisis pour tapisser le mur ont une longueur de 11,50 m et une largeur de 50 cm. Chaque rouleau coûte 3,90 €. La peinture destinée à repeindre le plafond coûte 5,50 € le pot. Chaque pot permet de peindre une surface de 8 m². La colle nécessaire pour fixer le papier peint coûte 1,15 €.

1. Combien de rouleaux faut-il acheter ? (on néglige les chutes dues aux portes et fenêtres)

2. Quel est le coût des fournitures pour cette rénovation ?

Solution

1. Dans un rouleau de papier peint, on peut découper 11,50 ÷ 2,60 = 4 lés Le périmètre de la pièce est de 2 × (4,20 + 3,50) = 2 × 7,70 = 15,40 m Le nombre de lés nécessaires est de 15,40 ÷ 0,5 = 31 lés La pièce nécessite donc 31 ÷ 4 = 8 rouleaux 2. Les rouleaux coûtent 8 × 3,9 = 31,20 € La surface du plafond est de 4,20 × 3,50 = 14,70 m² Il faut donc 14,70 ÷ 8 = 2 pots de peinture Les deux pots de peinture coûtent 2 × 5,50 = 11 € Les dépenses s'élèvent donc à 31,20 + 11,00 + 1,15 = 43,35 €

115|26 11|4 42 x 35 ---- 210 126 ---- 1470