Calcul tensoriel/Électromagnétisme

Équations de Maxwell (écriture classique)Modifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture classique)

Équations de Maxwell (écriture duale)Modifier

équations de Maxwell, formules topologiquesModifier

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

 
 

  et   sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur   est le tenseur dual du tenseur   de composantes   :

 

Le tenseur   contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes  , les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courantModifier

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire   comme somme d'un terme linéaire   et d'un terme non linéaire   :

 .

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur   :

 

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

 

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a   et donc

 

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du videModifier

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de   et   est simplement

 

avec   (SI).

écriture traditionnelle des équations de MaxwellModifier

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

 

Avec le même tenseur  , le premier groupe s'écrit

 

expression des tenseurs électromagnétiquesModifier

Pour un tenseur métrique diagonal  , les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

 
 
 
 
 
 
 

Champ électrique et champ magnétiqueModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Champ électrique et champ magnétique

Expression du tenseur de champ électromagnétiqueModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Expression du tenseur de champ électromagnétique

Premier groupe d'équations de MaxwellModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Premier groupe d'équations de Maxwell

Second groupe d'équations de MaxwellModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Second groupe d'équations de Maxwell

Tenseur d'énergie-impulsionModifier

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Tenseur d'énergie-impulsion