Calcul opérationnel

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Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

image de

La transformation inverse est notée :

original de

Transformations de base

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Pour une constante « C »

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La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

  est l'original de  ,


  est l'original de  ,


  est l'original de  ,


  est l'original de  

Image d'une variable « t »

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Pour  , on obtient l'image  

Ainsi,

  est l'original de  
,
  est l'original de  
,
  est l'original de  
.

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient :   original de  

Image de l'exponentielle de « at »

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Si  , la parenthèse devient :


 , expression qui tend vers   lorsque que  , dans ce cas l'image de   est  


Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
         
         
       
         

Pour  

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
       
       
   

Si  , l'image de   est :  

Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
       

Si  , la valeur de   est égale à zéro pour  , idem pour la valeur de la fonction image lorsque  .

Hypothèse fondamentale

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L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligées la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction  , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de   est  

 
Représentation de  .

L'échelon unité

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La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

 
Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)

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Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

  •   pour  ,
  •   pour  ,
  •   pour  .
 
Représentation de la fonction   .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

  •   pour  ,
  •   pour  ,
  •   pour  .

Quel que soit  , l'aire du rectangle est égal à l'unité.

 
Représentation de la fonction  .

Fonction de Dirac ou percussion-unité

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Si l'on fait tendre   vers zéro,   tend vers   et   tend vers une fonction notée   qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :

*   quel que soit « t » sauf pour   où la valeur de   devient infinie, et


*   ,quel que soit t0 ≤ 0 et t > 0.


Il vient alors :  

Image de la fonction de Dirac

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L'image de la fonction de Dirac est la limite quand   tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :


 


Ce qui est égal à   qui, quand   tend vers zéro, est égale à  .


L'image de la fonction de Dirac   est donc p.

Transformation des dérivées

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Transformation des intégrales

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Transformation des fractions rationnelles

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Compléments

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Formule du produit (de Borel)

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Fonctions périodiques

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Calcul d'intégrales

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Extension de la factorielle

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Application aux équations différentielles linéaires

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Ainsi à l'équation différentielle :


 


avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en  ,


correspond une équation algébrique image de   :