Calcul opérationnel

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Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image pemet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

image de

La transformation inverse est notée :

original de

Transformations de baseModifier

Pour une constante « C »Modifier

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :


  est l'original de  

,


  est l'original de  

,


  est l'original de  

,


  est l'original de  

.


Image d'une variable « t »Modifier

 


Pour  , on obtient l'image  

Ainsi,

  est l'original de  
,
  est l'original de  
,
  est l'original de  
.

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient :   original de  

Image de l'exponentielle de « at »Modifier

 


Si  , la parenthèse devient :


 , expression qui tend vers   lorsque que  , dans ce cas l'image de   est  


Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
         
         
        -
         


Pour  


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
        -
        -
    - - -


Si  , l'image de   est :  


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
        -


Si  , la valeur de   est égale à zéro pour  , idem pour la valeur de la fonction image lorsque  .


Hypothèse fondamentaleModifier

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origines f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligé la plus part du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction  , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de   est  

 
Représentation de  .

L'échelon unitéModifier

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

 
Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)Modifier

Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

  •   pour  ,
  •   pour  ,
  •   pour  .
 
Représentation de la fonction   .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

  •   pour  ,
  •   pour  ,
  •   pour  .

Quel que soit  , l'aire du rectangle est égal à l'unité.

 
Représentation de la fonction  .

Fonction de Dirac ou percussion-unitéModifier

Si l'on fait tendre   vers zéro,   tend vers   et   tend vers une fonction notée   qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :

*   quel que soit « t » sauf pour   où la valeur de   devient infinie, et


*   ,quel que soit t0 ≤ 0 et t > 0.


Il vient alors :  

Image de la fonction de DiracModifier

L'image de la fonction de Dirac est la limite quand   tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :


 


Ce qui est égal à   qui, quand   tend vers zéro, est égale à  .


L'image de la fonction de Dirac   est donc p.

Transformation des dérivéesModifier

Transformation des intégralesModifier

Transformation des fractions rationnellesModifier

ComplémentsModifier

Formule du produit (de Borel)Modifier

Fonctions périodiquesModifier

Calcul d'intégralesModifier

Extension de la factorielleModifier

Application aux équations diffétrentielles linéairesModifier

Ainsi à l'équation différentielle :


 


avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en  ,


correspond une équation algébrique image de   :