Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul des dérivées : solutions des exercices

• Trouver les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

$f_{1}(x)=0,f_{2}(x)=5,f_{3}(x)=x,f_{4}(x)=2x,f_{5}(x)=3x-5,f_{6}(x)=x^{2},f_{7}(x)=-4x^{2},f_{7}(x)=-4x^{2},$

$f_{8}(x)=-4x^{2}+5,f_{9}(x)=-x^{2}+2x,f_{10}(x)=x^{3},f_{11}(x)=x^{3}/3,f_{12}(x)=x^{3}-9x,f_{13}(x)=x^{4}$

Comme $f_{1}$ et $f_{2}$ sont des constantes, $f'_{1}(x)=f'_{2}(x)=0$

Comme $f3,f_{4}$ et $f_{5}$ sont des fonctions affines, leurs dérivées sont des constantes :

$f_{3}(x)=1,f_{4}(x)=2$ et $f_{5}(x)=3$

On peut trouver $f'_{6}$ avec la règle de la dérivée d'un produit puisque $f_{6}(x)=f_{3}(x)\times f_{3}(x)$

$f_{6}'=f_{3}'f_{3}+f_{3}f'_{3}=2f_{3}f'_{3}$

Or $f'_{3}(x)=1$ donc $f'_{6}(x)=2x$

Comme $f_{7}=-4f_{6}$ on trouve $f'_{7}$ avec la règle de la dérivée d'un produit par une constante :

$f'_{7}(x)=-4f'_{6}(x)=-8x$

Comme $f_{8}=f_{7}+f_{2}$ on trouve $f'_{8}$ avec la règle de la dérivée d'une somme :

$f'_{8}(x)=f'_{7}(x)+f'_{2}(x)=-8x$

Comme $f_{9}=-f_{6}+f_{4}$, $f'_{9}=-f'_{6}+f'_{4}$ donc $f'_{9}(x)=-2x+2$

Comme $f_{10}=f_{6}\times f_{3}$, $f'_{10}=f'_{6}f_{3}+f_{6}f'_{3}$ donc $f'_{10}(x)=2x^{2}+x^{2}=3x^{2}$

$f'_{11}(x)=f'_{10}(x)/3=x^{2}$

Comme $f_{12}=f_{10}-9f_{3}$, $f'_{12}=f'_{10}-9f'_{3}$ donc $f'_{12}(x)=3x^{2}-9$

Comme $f_{13}=f_{10}\times f_{3}$, $f'_{13}=f'_{10}f_{3}+f_{10}f'_{3}$ donc :

$f'_{13}(x)=3x^{3}+x^{3}=4x^{3}$

• Vérifier que la règle de la dérivée d'un produit par une constante $(Af)'=Af'$ est un cas particulier de la règle du produit des dérivées $(fg)'=f'g+fg'$

Comme $A$ est une constante, $A'=0$ et $(Af)'=A'f+Af'=Af'$

• On veut prouver que $f'_{n}(x)=nx^{n-1}$ pour tout entier $n\geq 1$

$f_{n}$, où $n$ est un entier et $n\geq 1$ est définie par $f_{n}(x)=x^{n}$

Montrer que la formule est vraie pour $n=1$

$f_{1}(x)=x$ donc $f'_{1}(x)=1=1x^{(1-1)}$

Montrer que si la formule est vraie pour $n$ alors elle reste vraie pour $n+1$

$f_{n+1}=f_{n}\times f_{1}$ donc $f'_{n+1}=f'_{n}f_{1}+f_{n}f'_{1}$

Si on suppose que la formule est vraie pour $n$, $f'_{n}(x)=nx^{n-1}$ et on obtient $f'_{n+1}(x)=nx^{n}+x^{n}=(n+1)x^{n}$, la formule reste donc vraie pour n+1

Ces deux conditions suffisent pour conclure que la formule est vraie pour tout entier $n\geq 1$ : d'après la première condition la formule est vraie pour $n=1$, d'après la seconde condition elle est donc vraie pour $n=2$, mais encore d'après cette même condition elle est alors vraie pour $n=3$ et ainsi de suite, à l'infini.