Approfondissements de lycée/SE Démonstrations

Démonstrations

Exercices sur l'induction mathématiqueModifier

1.

Démontrer que  
Lorsque n=1,
Côté gauche de l'équation  
Côté droit de l'équation  
Par conséquent côté gauche = côté droit
Par conséquent, c'est vrai lorsque n=1.
Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,
i.e.  
 
Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.
Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.

2.

Démontrer pour  ,
 
  et   sont des entiers.
Lorsque n=1,
 
Par conséquent   et  , qui sont tous les deux des entiers.
Par conséquent, ceci est vrai lorsque n=1.
Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,
i.e.    et   sont des entiers.
 
Puisque   et   sont tous deux des entiers, par conséquent   et   sont aussi des entiers.
Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.
Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.