Approfondissements de lycée/PS Premiers

Approfondissements de lycée

Question 1Modifier

Montrer que le théorème "divisible par 3" marche pour tout nombre à 3 chiffres (Astuce : Exprimer un nombre à 3 chiffre sous la forme 100a + 10b + c, où 0 ≤ a, b et c ≤ 9)

Solution 1Modifier

Tout nombre entier à 3 chiffre x peut être exprimé comme suit

x = 100a + 10b + c

où a, b et c sont des entiers positifs compris entre 0 et 9. Maintenant,

 
 

si et seulement si a + b + c = 3k pour un certain k. Mais a, b et c sont les chiffres de x.

Question 2Modifier

"Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme est divisible par 9." Vrai ou faux ? Déterminer si 89, 558, 51858, et 41857 sont divisibles par 9. Vérifier vos réponses.

Solution 2Modifier

Le résultat est vrai et peut être démontré comme dans la question 1.

Question 3Modifier

Existe-t'il une règle pour déterminer si un nombre à 3 chiffres est divisible par 11 ? Si oui, déterminer cette règle.

Solution 3Modifier

Comme précédement

x = 100a + 10b + c

Maintenant

 

Un nombre à trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme de son premier et dernier chiffre moins le second est divisible par 11.

Question 4Modifier

 

Le crible premier a été appliqué à la table ci-dessus. Noter que chaque nombre situé directement sous 2 et 5 sont rayés. Construire une grille rectangulaire de nombre allant de 1 à 60 après que le crible premier a été exécuté sur elle, tous les nombres situés directement sous 3 et 5 sont rayés. Quelle est la largeur de la grille ?

Solution 4Modifier

La largeur de la grille est 15 ou un multiple de celui-ci.

Question 5Modifier

Montrer que p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous des nombres premiers. (p un nombre entier positif)

Solution 5Modifier

Plaçons-nous en arithmétique mod 3, alors p peut être mis dans une des trois catégories

1ère catégorie
 
p n'est pas premier
2ème catégorie
 
 
p + 2 n'est pas premier
3ème catégorie
 
 
p + 4 n'est pas premier

Par conséquent p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous premiers.

Question 6Modifier

Montrer que n - 1 a lui-même comme inverse modulo n.

Solution 6Modifier

(n - 1)2 = n2 - 2n + 1 = 1 (mod n)

Alternativement

(n - 1)2 = (-1)2 = 1 (mod n)

Question 7Modifier

Montrer que 10 n'a pas d'inverse modulo 15.

Solution 7Modifier

Supposons que 10 possède un inverse x mod 15,

10x = 1 (mod 15)
2 x 5x = 1 (mod 15)
5x = 8 (mod 15)
5x = 8 + 15k

pour un certain entier k

x = 1,6 + 3k

mais maintenant, x n'est pas un entier, par conséquent 10 n'a pas d'inverse

Question 8Modifier

Trouver x

 

Solution 8Modifier

Notons que

 .

Alors

 .

De même,

 

et

 .

Alors

 

Question 9Modifier

9. Montrer qu'il n'existe pas d'entier x et y tels que

 

Solution 9Modifier

Regardons l'équation mod 5, nous avons

 

mais

 

Par conséquent, il n'existe pas de x tel que

 

Question 10Modifier

Soit p un nombre premier. Montrer que

(a)

 

 

C.a.d. 3! = 1*2*3 = 6

(b)

Maintenant, montrer que

 

pour p ≡ 1 (mod 4)

Solution 10Modifier

a) Si p = 2, alors c'est évident. Donc, nous supposons que p est un nombre premier impair. Puisque p est premier, cela implique que chaque élément distinct possède un inverse et que l'inverse de (p - 1) est (p - 1). Puisque

(p - 1)! = (p - 1) [(p - 2)(p - 3)... 2]

vous pouvez apparier les inverses et les multiplier pour donner 1, et (p - 1) possède comme inverse lui-même, par conséquent, c'est le seul élément non-"éliminé"

(p - 1)! = (p - 1)
(p - 1)! = - 1

est requis.

b) A partir de a)

-1 = (p - 1)!

puique p = 4k + 1 pour un certain entier positif k, (p - 1)! possède 4k termes

-1 = 1 x 2 x 3 x... 2k x (-2k) x(- 3) x (- 2) x (- 1)

il existe un nombre pair de nombres négatifs pour le côté droit, donc

-1 = (1 x 2 x 3 x...2k)2

il s'ensuit

 

et finalement, nous notons que p = 4k + 1, nous pouvons conclure