Approfondissements de lycée/PS Premiers

Approfondissements de lycée

Question 1

Montrer que le théorème "divisible par 3" marche pour tout nombre à 3 chiffres (Astuce : Exprimer un nombre à 3 chiffre sous la forme 100a + 10b + c, où 0 ≤ a, b et c ≤ 9)

Solution 1

Tout nombre entier à 3 chiffre x peut être exprimé comme suit

x = 100a + 10b + c

où a, b et c sont des entiers positifs compris entre 0 et 9. Maintenant,

$x\equiv 100a+10b+c\equiv a+b+c{\pmod {3}}$

$x\equiv 0{\pmod {3}}$

si et seulement si a + b + c = 3k pour un certain k. Mais a, b et c sont les chiffres de x.

Question 2

"Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme est divisible par 9." Vrai ou faux ? Déterminer si 89, 558, 51858, et 41857 sont divisibles par 9. Vérifier vos réponses.

Solution 2

Le résultat est vrai et peut être démontré comme dans la question 1.

Question 3

Existe-t'il une règle pour déterminer si un nombre à 3 chiffres est divisible par 11 ? Si oui, déterminer cette règle.

Solution 3

Comme précédement

x = 100a + 10b + c

Maintenant

$x\equiv a+10b+c\equiv a-b+c{\pmod {11}}$

Un nombre à trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme de son premier et dernier chiffre moins le second est divisible par 11.

Question 4

${\begin{matrix}X&2&3&X&5&X&7&X&X&X\\11&X&13&X&X&X&17&X&19&X\\X&X&23&X&X&X&X&X&29&X\\31&X&X&X&X&X&37&X&X&X\\41&X&43&X&X&X&47&X&49&X\\\end{matrix}}$

Le crible premier a été appliqué à la table ci-dessus. Noter que chaque nombre situé directement sous 2 et 5 sont rayés. Construire une grille rectangulaire de nombre allant de 1 à 60 après que le crible premier a été exécuté sur elle, tous les nombres situés directement sous 3 et 5 sont rayés. Quelle est la largeur de la grille ?

Solution 4

La largeur de la grille est 15 ou un multiple de celui-ci.

Question 5

Montrer que p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous des nombres premiers. (p un nombre entier positif)

Solution 5

Plaçons-nous en arithmétique mod 3, alors p peut être mis dans une des trois catégories

1ère catégorie

$p\equiv 0{\pmod {3}}$

p n'est pas premier

2ème catégorie

$p\equiv 1{\pmod {3}}$

$p+2\equiv 0{\pmod {3}}$

p + 2 n'est pas premier

3ème catégorie

$p\equiv 2{\pmod {3}}$

$p+4\equiv 0{\pmod {3}}$

p + 4 n'est pas premier

Par conséquent p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous premiers.

Question 6

Montrer que n - 1 a lui-même comme inverse modulo n.

Solution 6

(n - 1)² = n² - 2n + 1 = 1 (mod n)

Alternativement

(n - 1)² = (-1)² = 1 (mod n)

Question 7

Montrer que 10 n'a pas d'inverse modulo 15.

Solution 7

Supposons que 10 possède un inverse x mod 15,

10x = 1 (mod 15)

2 x 5x = 1 (mod 15)

5x = 8 (mod 15)

5x = 8 + 15k

pour un certain entier k

x = 1,6 + 3k

mais maintenant, x n'est pas un entier, par conséquent 10 n'a pas d'inverse

Question 8

Trouver x

${\begin{matrix}x\equiv 3^{7}+1^{7}+2^{7}++4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}\ {\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

Solution 8

Notons que

$-a\equiv 7-a{\pmod {7}}$.

Alors

$1^{7}\equiv (7-6)^{7}\equiv (-6)^{7}\equiv -(6^{7}){\pmod {7}}$.

De même,

$2^{7}\equiv -5^{7}{\pmod {7}}$

et

$3^{7}\equiv -4^{7}{\pmod {7}}$.

Alors

${\begin{matrix}x&\equiv &1^{7}+2^{7}+3^{7}+4^{7}+5^{7}+6^{7}+7^{7}&\\&\equiv &1^{7}+2^{7}+3^{7}-3^{7}-2^{7}-1^{7}+7^{7}&\\&\equiv &0&{\pmod {7}}\\\end{matrix}}$

Question 9

9. Montrer qu'il n'existe pas d'entier x et y tels que

$x^{2}-5y^{2}=3$

Solution 9

Regardons l'équation mod 5, nous avons

$x^{2}=3{\pmod {5}}$

mais

${\begin{matrix}1^{2}=1\\2^{2}=4\\3^{2}=9=4\\4^{2}=16=1\end{matrix}}$

Par conséquent, il n'existe pas de x tel que

$x^{2}=3{\pmod {5}}$

Question 10

Soit p un nombre premier. Montrer que

(a)

$(p-1)!\equiv -1\ {\mbox{(mod p)}}$

où

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$

C.a.d. 3! = 1*2*3 = 6

(b)

Maintenant, montrer que

${\sqrt {-1}}\equiv {\frac {p-1}{2}}!{\pmod {p}}$

pour p ≡ 1 (mod 4)

Solution 10

a) Si p = 2, alors c'est évident. Donc, nous supposons que p est un nombre premier impair. Puisque p est premier, cela implique que chaque élément distinct possède un inverse et que l'inverse de (p - 1) est (p - 1). Puisque

(p - 1)! = (p - 1) [(p - 2)(p - 3)... 2]

vous pouvez apparier les inverses et les multiplier pour donner 1, et (p - 1) possède comme inverse lui-même, par conséquent, c'est le seul élément non-"éliminé"

(p - 1)! = (p - 1)

(p - 1)! = - 1

est requis.

b) À partir de a)

-1 = (p - 1)!

puisque p = 4k + 1 pour un certain entier positif k, (p - 1)! possède 4k termes

-1 = 1 x 2 x 3 x... 2k x (-2k) x(- 3) x (- 2) x (- 1)

il existe un nombre pair de nombres négatifs pour le côté droit, donc

-1 = (1 x 2 x 3 x...2k)²

il s'ensuit

${\sqrt {-1}}=1\times 2\times 3\times ...2k$

et finalement, nous notons que p = 4k + 1, nous pouvons conclure

${\sqrt {-1}}={\frac {p-1}{2}}!$