Approfondissements de lycée/ES Premiers
Exercices de décomposition
modifierDécomposer les nombres suivants. (note : ceci est juste pour ceux qui sont curieux)
- 13 est premier
- 59 est premier
- 101 est premier
Exercice de décomposition récursive
modifierDécomposer en utilisant la récursivité.
Exercices sur le crible de nombres premiers
modifier- Utiliser le résultat ci-dessus pour éliminier rapidement les nombres qui doivent encore être rayés dans la table ci-dessous, sachant que 5 est le prochain nombre premier :
- Le nombre premier suivant est 5. Parceque 5 est un nombre premier non marqué, et que 5 * 5 = 25, rayer 25. De même, 7 est un nombre premier non marqué, et 5 * 7 = 35, donc éliminer 35. Néanmoins, 5 * 11 = 55, est trop haut, donc marquer 5 comme premier et passer à 7. Le seul nombre suffisamment bas pour être enlevé est 7 * 7, qui est égal à 49. Vous ne pouvez pas aller plus haut.
2. Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 200.
- La méthode précédente est trop longue. Tous les nombres premiers inférieurs à 200 sont :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
Exercices d'arithmétique modulaire
modifier- de manière alternative, -1 = 10, -5 = 6: 10 x 6 = 60 = 5 x 11 + 5 = 5
-
Une liste plus facile : 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1
Noter qu'il n'est pas nécessaire de calculer
pour trouver mod 11.
Si vous connaissez mod 11 = 6.
Vous pouvez trouver mod 11 = (2*( mod 11)) mod 11 = 2*6 mod 11 = 12 mod 11 = 1.
Nous pouvons noter que 29 = 6 et 210 = 1, nous pouvons calculer 62 facilement : 62 = 218 = 2^8 = 3. Ou par la méthode précédente
Une liste plus facile : 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1. - 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9,
42 = 16 = 5, 52 = 25 = 5, 62 = 36 = 3, 72 = 49 = 3,
82 = 64 = 5, 92 = 81 = 4, 102 = 100 = 1
Une liste plus facile : 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1
Ainsi - x2 = -2 = 9
Regardez simplement la liste ci-dessus et vous verrez que
Exercices sur la division et les inverses
modifier1.
- Par conséquent, l'inverse n'existe pas
2.
3.
4.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
1 | mod 2 | ||||||||||||||||||
1 | 2 | mod 3 | |||||||||||||||||
1 | 3 | mod 4 | |||||||||||||||||
1 | 3 | 2 | 4 | mod 5 | |||||||||||||||
1 | 5 | mod 6 | |||||||||||||||||
1 | 4 | 5 | 2 | 3 | 6 | mod 7 | |||||||||||||
1 | 3 | 5 | 7 | mod 8 | |||||||||||||||
1 | 5 | 7 | 2 | 4 | 8 | mod 9 | |||||||||||||
1 | 7 | 3 | 9 | mod 10 | |||||||||||||||
1 | 6 | 4 | 3 | 9 | 2 | 8 | 7 | 5 | 10 | mod 11 | |||||||||
1 | 5 | 7 | 11 | mod 12 | |||||||||||||||
1 | 7 | 9 | 10 | 8 | 11 | 2 | 5 | 3 | 4 | 6 | 12 | mod 13 | |||||||
1 | 5 | 3 | 11 | 9 | 13 | mod 14 | |||||||||||||
1 | 8 | 4 | 13 | 2 | 11 | 7 | 14 | mod 15 | |||||||||||
1 | 11 | 13 | 7 | 9 | 3 | 5 | 15 | mod 16 | |||||||||||
1 | 9 | 6 | 13 | 7 | 3 | 5 | 15 | 2 | 12 | 14 | 10 | 4 | 11 | 8 | 16 | mod 17 | |||
1 | 11 | 13 | 5 | 7 | 17 | mod 18 | |||||||||||||
1 | 10 | 13 | 5 | 4 | 16 | 11 | 12 | 17 | 2 | 7 | 8 | 3 | 15 | 14 | 6 | 9 | 18 | mod 19 |
Exercices sur les nombres premiers entre eux et PGDC
modifier1.
- 1.
Plus petit | Plus grand |
---|---|
5050 | 5051 |
1 | 5050 |
0 | 1 |
- 5050 et 5051 sont premiers entre eux
- 2.
Plus petit | Plus grand |
---|---|
59 | 78 |
19 | 59 |
2 | 19 |
1 | 2 |
0 | 1 |
- 59 et 79 sont premiers entre eux
- 3.
Plus petit | Plus grand |
---|---|
111 | 369 |
36 | 111 |
3 | 36 |
0 | 3 |
- 111 et 369 ne sont pas premiers entre eux
- 4.
Plus petit | Plus grand |
---|---|
2021 | 4032 |
2011 | 2021 |
10 | 2011 |
1 | 10 |
0 | 1 |
- 2021 et 4032 sont premiers entre eux
2.Nous calculerons d'abord le PGDC pour toutes les combinaisons
Plus petit | Plus grand |
---|---|
15 | 510 |
0 | 15 |
Plus petit | Plus grand |
---|---|
15 | 375 |
0 | 15 |
Plus petit | Plus grand |
---|---|
375 | 510 |
135 | 375 |
105 | 135 |
30 | 105 |
15 | 30 |
0 | 15 |
- Le PGDC pour toute combinaison des nombres est 15 donc le PGDC est 15 pour les trois nombres.