Approfondissements de lycée/ES Premiers

Nombres premiers et Arithmétique modulaireModifier

Exercices de décompositionModifier

Décomposer les nombres suivants. (note : ceci est juste pour ceux qui sont curieux)

  1. 13 est premier
  2.  
  3. 59 est premier
  4.  
  5. 101 est premier
  6.  
  7.  

Exercice de décomposition récursiveModifier

Décomposer en utilisant la récursivité.

  1.  
  2.  
  3.  

Exercices sur le crible de nombres premiersModifier

  1. Utiliser le résultat ci-dessus pour éliminier rapidement les nombres qui doivent encore être rayés dans la table ci-dessous, sachant que 5 est le prochain nombre premier :
 
Le nombre premier suivant est 5. Parceque 5 est un nombre premier non marqué, et que 5 * 5 = 25, rayer 25. De même, 7 est un nombre premier non marqué, et 5 * 7 = 35, donc éliminer 35. Néanmoins, 5 * 11 = 55, est trop haut, donc marquer 5 comme premier et passer à 7. Le seul nombre suffisamment bas pour être enlevé est 7 * 7, qui est égal à 49. Vous ne pouvez pas aller plus haut.

2. Trouver tous les nombres premiers inférieurs à 200.

La méthode précédente est trop longue. Tous les nombres premiers inférieurs à 200 sont :

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199

Exercices d'arithmétique modulaireModifier

  1.   de manière alternative, -1 = 10, -5 = 6: 10 x 6 = 60 = 5 x 11 + 5 = 5
  2.  
  3.  
     
     
    Une liste plus facile : 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1
    Noter qu'il n'est pas nécessaire de calculer
      pour trouver   mod 11.
    Si vous connaissez   mod 11 = 6.
    Vous pouvez trouver   mod 11 = (2*(  mod 11)) mod 11 = 2*6 mod 11 = 12 mod 11 = 1.
    Nous pouvons noter que 29 = 6 et 210 = 1, nous pouvons calculer 62 facilement : 62 = 218 = 2^8 = 3. Ou par la méthode précédente
     
     
     
    Une liste plus facile : 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1.
  4. 02 = 0, 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9,
    42 = 16 = 5, 52 = 25 = 5, 62 = 36 = 3, 72 = 49 = 3,
    82 = 64 = 5, 92 = 81 = 4, 102 = 100 = 1
    Une liste plus facile : 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1
    Ainsi 
  5. x2 = -2 = 9
    Regardez simplement la liste ci-dessus et vous verrez que  

Exercices sur la division et les inversesModifier

1.

 
 
 
 
 
  Par conséquent, l'inverse n'existe pas

2.  

 
 

3.

 
 
 
 

4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 mod 2
1 2 mod 3
1 3 mod 4
1 3 2 4 mod 5
1 5 mod 6
1 4 5 2 3 6 mod 7
1 3 5 7 mod 8
1 5 7 2 4 8 mod 9
1 7 3 9 mod 10
1 6 4 3 9 2 8 7 5 10 mod 11
1 5 7 11 mod 12
1 7 9 10 8 11 2 5 3 4 6 12 mod 13
1 5 3 11 9 13 mod 14
1 8 4 13 2 11 7 14 mod 15
1 11 13 7 9 3 5 15 mod 16
1 9 6 13 7 3 5 15 2 12 14 10 4 11 8 16 mod 17
1 11 13 5 7 17 mod 18
1 10 13 5 4 16 11 12 17 2 7 8 3 15 14 6 9 18 mod 19

Exercices sur les nombres premiers entre eux et PGDCModifier

1.

1.
Plus petit Plus grand
5050 5051
1 5050
0 1
5050 et 5051 sont premiers entre eux
2.
Plus petit Plus grand
59 78
19 59
2 19
1 2
0 1
59 et 79 sont premiers entre eux
3.
Plus petit Plus grand
111 369
36 111
3 36
0 3
111 et 369 ne sont pas premiers entre eux
4.
Plus petit Plus grand
2021 4032
2011 2021
10 2011
1 10
0 1
2021 et 4032 sont premiers entre eux

2.Nous calculerons d'abord le PGDC pour toutes les combinaisons

Plus petit Plus grand
15 510
0 15
Plus petit Plus grand
15 375
0 15
Plus petit Plus grand
375 510
135 375
105 135
30 105
15 30
0 15
Le PGDC pour toute combinaison des nombres est 15 donc le PGDC est 15 pour les trois nombres.