Définition : suite numérique

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Soit l'application   de   dans  

 

On dit que   est la suite numérique de terme général  .

On peut la citer extensivement sous la forme :
 

suite extraite

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On dit que   est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite  
si et seulement si :

 strictement croissante telle que  

suite stationnaire

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Soit   une suite numérique de terme général  
On dit que   est une suite stationnaire si et seulement si :

  tels que : 

Suite Monotone

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Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

Suite croissante

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Définition
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une suite   est croissante à partir d'un certain rang si

 
tel que  
Exemple
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Suite décroissante

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Définition
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une suite   est décroissante à partir d'un certain rang si

 
tel que  
Exemple
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Application

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pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux

  • d'étudier le signe de  
  • d'étudier le signe de  
  • si la suite est de la forme  , d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée
Exemple
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Suite Bornée

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Suite Minorée

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Une suite   est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

  tel que  

Suite Majorée

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Une suite   est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

  tel que  

Suite Bornée

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Une suite   est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

 

Exemples et applications

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Convergence et Limite

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Limite finie

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Définition

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Une suite possédant une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

On dit que la suite   converge vers une limite   si quel que soit   tous les termes de la suite   appartiennent à un intervalle   sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

 

tel que  


dans ce cas on note   ou  

Unicité de la limite

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Théorème
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Une suite convergente a une unique limite l.

Démonstration
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Soit une suite   convergente, supposons que la suite   possède deux limites distinctes   et  

d'après la definition de la limite on peut affirmer que:

 
tel que  

et

 
tel que  

donc pour   on a

  (1)
  (2)

en additionnant (1) et (2) on a

  (3)

d'après l'inégalité triangulaire

  (4)

en intégrant (4) à (3) on obtient

  (5)

puisque cette inégalité est vraie pour tout   et que l'on a posé au départ   on peut poser   en l'intégrant à (5) on obtient

 
donc  

Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que l = l', et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente

Théorème des suites monotones bornées

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Théorème
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Une suite majorée et croissante est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente

Démonstration
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Rappelons que toute partie non vide et majorée de   admet une borne supérieure finie. Si l'ensemble   est majoré, il admet une borne supérieure finie : notons-la   . Puisque   est le plus petit des majorants, pour tout   ,   n'est pas un majorant. Donc il existe   tel que   . Mais si   est croissante, alors pour tout   ,

 

donc   converge vers   .

Si la suite n'est pas majorée, pour tout   , il existe   tel que   . Si   est croissante, alors pour tout   ,

 

donc la suite   tend vers l'infini.

Si la suite   est décroissante, on applique ce qui précède à la suite croissante  .

Théorème des suites convergentes

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Théorème
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Une suite convergente est bornée

Démonstration
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( ) converge vers l, donc d'après la définition de la convergence d'une suite :

  tel que :

 

D'où pour  , on a :
 
Ainsi,  

D'où pour   :   

D'où ( ) est bornée

Limite infinie

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On dit que la suite   diverge vers   (respectivement  ) si quel que soit   tous les termes de la suite   appartiennent à un intervalle   (respectivement  ) sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

 

tel que   (respectivement  )


dans ce cas on note   ou   (respectivement   ou  )

Opérations sur les limites

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Adhérence

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On appelle valeur d'adhérence d'une suite toute limite finie d'une sous-suite.

Par exemple, soit  , ses valeurs d'adhérence sont évidemment 1 et -1.

D'après l'unicité de la limite, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite convergente vers l est  . Cependant, la réciproque est fausse : la suite définie par   a une unique valeur d'adhérence 0 mais ne converge pas.

Suites particulières

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Suites de Cauchy

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Une suite de Cauchy est définie par :

 

Exercices

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Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?

Pour continuer..................

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