Analyse/Séries
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IntroductionModifier
DéfinitionModifier
- On appelle série de terme général la suite définie par : où est une suite de nombres réels.
- On dit qu'une série converge si la suite admet une limite S.
- Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.
ExempleModifier
- ...
Pour n pair, vaut 1, pour n impair, vaut 0. La série n'a pas de limite. La série est donc divergente.
ConvergenceModifier
Condition nécessaireModifier
Si une série de terme général converge, alors a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.
C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : .
En effet
- et .
D'où
- et
Supposons que la série converge, alors et admettent une même limite S et lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec , donc la série diverge.