Analyse/Introduction

Qu'est-que l'analyse?

L'analyse est une branche des mathématiques étudiant principalement les fonctions.

Prenons l'exemple d'une voiture équipée d'un chronotachygraphe. Enregistrant sur un disque, à intervalles réguliers, les positions et la vitesse de déplacement de la voiture, ce compteur est utilisé aux fins de gestion d'une entreprise de transport. Nous étudions l'enregistrement obtenu au bureau, mais cette fois l'appareil n'a pas bien fonctionné, et il manque le relevé des positions. Dans ce cas, l'analyse de la vitesse du véhicule nous sera utile.

Si la voiture roulait à une vitesse constante, alors déterminer la position de la voiture à partir de la vitesse serait un simple problème algébrique. Cependant, tous les automobilistes ne roulent pas à vitesse constante, et la vitesse peut changer instantanément. L'algèbre ordinaire ne permet pas de répondre à la question, tandis que l'analyse le permet. En effet, nous pouvons utiliser une fonction qui indique la position de la voiture au cours du temps, et une fonction qui renseigne sur la vitesse de la voiture à chaque instant. Posons nous la question suivante :

Est-il possible, connaissant l'une de ces deux fonctions « position » ou « vitesse », de déterminer l'autre fonction ?

Il y a deux ramifications importantes de l'analyse, le calcul différentiel et le calcul intégral. Le calcul différentiel se propose de trouver des pentes de courbes représentatives des fonctions. Il s'agit de caractériser ces pentes en calculant une fonction dite "dérivée". Notamment étudiées par Newton et Leibnitz au 18ème siècle, les fonctions dérivées ont été utilisées bien plus tôt en Asie. Dans le cas où l'enregistrement de la vitesse ait été défectueux, nous aurions pu découvrir la vitesse "instantanée" du véhicule (enregistrée à l'instant t) en étudiant l'évolution de ses positions.

En revanche, schématiquement, le calcul intégral procède dans l'autre direction : de la vitesse à la position de la voiture de notre exemple. Il permet, en étudiant les variations de vitesse, de connaître l'évolution de la distance parcourue - c'est à dire de connaître les différentes positions de la voiture au cours du temps. C'est ainsi que le calcul intégral permet, et c'est un rôle fondamental, de mesurer des grandeurs indirectement (la distance parcourue, dans notre exemple).

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