Définition

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Dérivée
Soit une fonction  , à valeurs dans  , définie sur un voisinage de  . On note   la variation autour du point   et   la variation correspondante de la fonction  .
Définition 1
On dit qu'une fonction   est dérivable en   si la limite
 
existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de   en   et on la note  .
Définition 2
On dit que   est dérivable sur un intervalle   si elle est dérivable en tout point de   et on note   la fonction dérivée  . La dérivée de  , si elle existe, est notée  , et par récurrence, on définit la dérivée nième de  , notée  .

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de  , notée  , avec la dérivée  ième notée  .


La définition suivante est souvent utile:

Définition 3
On dit que   est   fois dérivable sur un intervalle   si elle est   fois dérivable en tout point de  ; on dit que
  si  
sont continues sur  .
Donc   signifie simplement que   est continue sur  . On peut aussi parler de la classe  , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne   avec  .

Interprétation

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Interprétation géométrique

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Si   est à valeurs réelles et si le nombre   existe, il est égal à la pente de la tangente à   au point  . L'équation cartésienne de la droite tangente à   en   s'écrit  . À noter que si   la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation  .


Interprétation mécanique

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Soit   l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe   en fonction du temps  . La limite   est notée   et la fonction dérivée   est la vitesse du point, à l'instant  , selon l'axe  . L'accélération à l'instant  , selon ce même axe, est la dérivée seconde  . La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon
 ,
  est la masse de la particule considérée et   la composante, selon l'axe  , de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de  . On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces   assez simples.

Interprétation chimique

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On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient   atomes à l'instant  . La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée   (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée   et le taux de variation est  . On a donc pour loi de variation temporelle:
  .


On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si   est le nombre d'atomes initial à  , au temps   il n'en restera plus que  .

Continuité et Dérivabilité

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Théorème
Toute fonction   dérivable en   est continue en ce point.
Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction   est continue en  , mais elle n'est pas dérivable en  . Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur   qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

Calcul des dérivées

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Dérivées des fonctions réciproques

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Différentielle

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Utilisations

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Dérivée première et variations

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Dérivée seconde et convexité

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Les théorèmes fondamentaux

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