Analyse/Dérivation

Définition

Dérivée

Soit une fonction $f$, à valeurs dans $\mathbb {K}$, définie sur un voisinage de $x_{0}$. On note $\Delta x=x-x_{o}$ la variation autour du point $x_{o}$ et $\Delta f=f(x)-f(x_{o})$ la variation correspondante de la fonction $f$.

Définition 1

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si la limite

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\,=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\,=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\,$

existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de $f$ en $x_{0}$ et on la note $f^{\prime }(x_{0})$.

Définition 2

On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ et on note $f^{\prime }$ la fonction dérivée $x\mapsto f^{\prime }(x)$. La dérivée de $f^{\prime }$, si elle existe, est notée $f^{\prime \prime }$, et par récurrence, on définit la dérivée nième de $f$, notée $f^{(n)}$.

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de $f$, notée $f^{n}$, avec la dérivée $n$ième notée $f^{(n)}$.

La définition suivante est souvent utile:

Définition 3

On dit que $f$ est $n$ fois dérivable sur un intervalle $I$ si elle est $n$ fois dérivable en tout point de $I$; on dit que

$f\in C^{n}(I)$ si $f,f^{\prime },...$

sont continues sur $I$.

Donc $f\in C^{0}(I)$ signifie simplement que $f$ est continue sur $I$. On peut aussi parler de la classe $C^{\infty }(\mathbb {R} )$, avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne $x\mapsto e^{-ax^{2}}$ avec $a\in \mathbb {R_{+}^{*}}$.

Interprétation

Interprétation géométrique

Si $f$ est à valeurs réelles et si le nombre $f^{\prime }(x_{0})$ existe, il est égal à la pente de la tangente à $f(x)$ au point $x_{0}$. L'équation cartésienne de la droite tangente à $f(x)$ en $x_{0}$ s'écrit $y=f(x_{0})+(x-x_{0})*f^{\prime }(x_{0})$. À noter que si $f^{\prime }(x_{0})=\pm \infty$ la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation $x=x_{0}$.

Interprétation mécanique

Soit $x(t)$ l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe $Ox$ en fonction du temps $t$. La limite $\lim _{t\to t_{0}}{\frac {x(t)-x(t_{0})}{t-t_{0}}}\,$ est notée ${\dot {x}}(t_{o})$ et la fonction dérivée $t\mapsto {\dot {x}}(t)$ est la vitesse du point, à l'instant $t$, selon l'axe $Ox$. L'accélération à l'instant $t$, selon ce même axe, est la dérivée seconde ${\ddot {x}}(t)$. La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon

$m{\ddot {x}}(t)=F_{x}$,

où $m$ est la masse de la particule considérée et $F_{x}$ la composante, selon l'axe $Ox$, de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de $x,{\dot {x}},...$. On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces $F_{x}$ assez simples.

Interprétation chimique

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient $N(t)$ atomes à l'instant $N(t)$. La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée $\lambda$ (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée ${\dot {N}}(t)$ et le taux de variation est ${\frac {\dot {N}}{N}}\,$. On a donc pour loi de variation temporelle:

${\frac {\dot {N}}{N}}\,=-\lambda \Rightarrow {\dot {N}}(t)=\lambda N(t)$ .

On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si $N_{0}$ est le nombre d'atomes initial à $t=0$, au temps $t$ il n'en restera plus que $N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$.

Continuité et Dérivabilité

Théorème

Toute fonction $f$ dérivable en $x_{0}$ est continue en ce point.

Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction $x\mapsto \left|x\right|$ est continue en $x=0$, mais elle n'est pas dérivable en $x=0$. Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur $\mathbb {R}$ qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

Calcul des dérivées

• Exemples de calcul de dérivée
• Exercices de calcul de dérivées

Utilisations