Analyse/Équation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x.

Exemples :

  • .
  • .

Équation différentielle du premier ordreModifier

Définition

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.

Exemple :

  •  .

Équation différentielle linéaire du premier ordreModifier

Définition

{{{1}}}

Exemples :

  •  .
  •  . n'est pas une équation linéaire (voir Équation linéaire).

RésolutionModifier

Équation sans second membreModifier

 
 
 
 
 
  (avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec  

ExercicesModifier

Résoudre  

Équation avec second membreModifier

  (que l'on nomme (1))

  • On y associe une équation sans second membre :   (que l'on nomme (0))
  • La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
  • On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).

 
 
 
 
 
 

  • On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K.  . Ainsi   et  .
    On insère dans (1).
     
     
     
    or  
    ainsi  
     
  • La solution particulière de (1) est   et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit  

RésolutionModifier

  • On divise par  
     
    On pose  
    Ainsi  
    On obtient  que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction  .

Exemple :   (ici yn = y3).

  • On divise par y3. Ainsi   ou  .
    On pose   et   et on effectue le changement  
  • On résout l'équation sans second membre :  
     
     
     
      avec  
  • On fait varier la constante K,  
      et  
    On insère dans (1):  
     
     
     
    Ainsi  
     
     
    Si  alors  

Équation différentielle du deuxième ordreModifier

Définition

Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x.

Exemple :

  •