Dans ce chapitre désigne un corps commutatif.

Généralités

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Définitions

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Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

Nous appelons matrice à éléments dans   de type (n, p) toute application de   dans   (famille d'éléments de   indexée par  ), c'est à dire un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes de la forme :

 

  de   s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.

Une telle matrice se note aussi   ou plus simplement  .

L'ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans  , se note  .

Quand n = p, la matrice est dite carrée de dimension n.

Quand p = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments :   . On parle de vecteur.

L'ensemble des matrices carrées de type (n,n) ou d'ordre n, se note  .

Lorsque   la matrice est dite réelle.

Lorsque   la matrice est dite complexe.

Les éléments   forment la diagonale principale de la matrice.

Matrices particulières

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Matrice inverse

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Soit   une matrice. L'inverse de  , si elle existe, est définie comme l'unique matrice   telle que :  

Matrice transposée

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Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice. La transposée d'une matrice   est notée  .

Elle est la matrice obtenue à partir de   en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir  , on a   (avec   et  )

Autre notation :   notation sans renommer la transposée de  

Propriété : Lorsque la matrice   est dite symétrique on a alors  , ce qui donne  

Matrice diagonale

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Une matrice carrée   est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si

 .

Une telle matrice se note  .

L'ensemble des matrices diagonales se note  .

Matrice triangulaire

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Matrice triangulaire inférieure

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Une matrice carrée   est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

 

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).

  Une matrice triangulaire inférieure

  Une matrice strictement triangulaire inférieure

L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note  .

Matrice triangulaire supérieure

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De manière analogue, une matrice carrée   est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

 

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).

  Une matrice triangulaire supérieure

  Une matrice strictement triangulaire supérieure


L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note  .

Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale. Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24

Matrice diagonale

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Une matrice carrée est dite matrice diagonale lorsque  , pour tout  , ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite matrice scalaire.

  Une matrice diagonale

  Une matrice scalaire

Matrice identité

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Une matrice identité est une matrice scalaire où  .

  Une matrice identité (3x3)

Lorsqu'on multiplie une matrice par la matrice identité on revient à la matrice de départ.  

Matrice symétrique et anti-symétrique

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  • Une matrice   est dite symétrique si elle est égale à sa transposée:

 

  • Une matrice   est dite anti-symétrique si elle est égale à l'opposé de sa transposée:

 

Matrices orthogonales

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M est une matrice orthogonale si

 

Le déterminant d'une matrice orthogonale est toujours 1 ou -1.

Matrices idempotentes

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Ces matrices ont la propriété suivante:

 

Matrices nilpotentes

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Une matrice   est dite nilpotente si:

 

Le déterminant d'une matrice nilpotente vaut 0.

Addition de matrices

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A + B = CA, B et C sont des matrices carrées (3,3).

  +   =  

On additionne les éléments de même position dans chaque matrice. On ne peut additionner que des matrices de même dimension.

Pour deux matrices (n,p), l'addition matricielle se définit ainsi:  


Multiplication de matrices

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Propriétés de la multiplication des matrices

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On ne peut multiplier deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de celle de gauche est égale au nombre de lignes de celle de droite. D'autre part, le produit de deux matrices n'est pas commutatif :  

Pour des matrices   , la multiplication matricielle se définit ainsi:  

Elément neutre

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Si  , alors   est élément neutre à droite

Si  , alors   est élément neutre à gauche