Algèbre linéaire/Espace Vectoriel

Définition d'un espace vectoriel

$K$ représente le corps des réels ou des complexes. ( $\mathrm {K} =\mathbb {R} \quad ou\quad \mathrm {K} =\mathbb {C}$ )

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée $+$ et d'une loi externe $K\times E\rightarrow E$ notée $\cdot$

Il existe 10 Axiomes pour définir un $\mathrm {K}$ -e.v ( $K$ -espace vectoriel) :

${\begin{array}{lcl}+:\quad E\times E\qquad \rightarrow \qquad E\\\qquad (u_{1},u_{2})\qquad \rightarrow \qquad u_{1}+u_{2}\end{array}}$ $\qquad$ et $\qquad$ ${\begin{array}{lcl}\centerdot \quad :\quad \mathrm {K} \times E\qquad \rightarrow \qquad E\\\quad \qquad (\lambda ,u_{2})\qquad \rightarrow \qquad \lambda \cdot u_{2}\end{array}}$

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ ( Loi Interne) $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (Loi Externe)

$\forall (u_{1},u_{2})\in E^{2}:u_{1}+u_{2}=u_{2}+u_{1}$ .
$\forall (u_{1},u_{2},u_{3})\in E^{3}:u_{1}+(u_{2}+u_{3})=(u_{1}+u_{2})+u_{3}$ .
$E$ admet un élément neutre $0_{E}\in E$ , c'est-à-dire $\forall u\in E,u+0_{E}=u$ .
Tout élément $u\in E$ admet un symétrique $u'$ tel que $u+u'=0_{E}$ . On note $u'=-u$ .
$\forall u\in E:1\cdot u=u$
$\forall (\lambda ,\mu )\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:\lambda \cdot (\mu \cdot u)=(\lambda \cdot \mu )\cdot u$
$\forall \lambda ,\in \mathrm {K} ,\forall (u_{1},u_{2})\in E^{2}:\lambda \cdot (u_{1}+u_{2})=\lambda \cdot u_{1}+\lambda \cdot u_{2}$
${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu ),\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:(\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u}$