Algèbre linéaire/Application linéaire

Définitions

modifier

Soit   un corps. Soient alors   et   deux  -espaces vectoriels.

Application linéaire

modifier

L'application   est dite linéaire si et seulement si

 

et

 

On note   l'ensemble des applications linéaires de   vers  .

Endomorphisme

modifier

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

L'ensemble des endomorphismes de   se note  .

Isomorphisme

modifier

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :

 

Autrement dit, tout élément   de   admet un antécédent et un seul dans   par  .

Automorphisme

modifier

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Forme linéaire

modifier

Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps   (généralement,   ou  ). Une forme linéaire est donc une application linéaire de  .

Noyau et Image d'une application linéaire

modifier

Soit   une application linéaire de   dans  . Le noyau de  , noté  , est l'ensemble des éléments de   dont l'image par   est l'élément nul de  . On écrit :

 

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ :   est un sev de  .

L'image d'une application linéaire   de   dans  , noté  , est l'ensemble des éléments de   ayant un antécédent par   dans  . On écrit :

 

L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée :   est un sev de  .

Théorème du rang

modifier

Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :