Algèbre linéaire/Application linéaire

Définitions

Soit $\mathbb {K}$ un corps. Soient alors $E$ et $F$ deux $\mathbb {K}$-espaces vectoriels.

Application linéaire

L'application $u\in {F}^{E}$ est dite linéaire si et seulement si

$\forall (x,y)\in E^{2},\;u(x+y)=u(x)+u(y),$

et

$\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\;\forall x\in E,\;u(\lambda x)=\lambda u(x).$

On note ${\mathcal {L}}(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $F$.

Endomorphisme

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

L'ensemble des endomorphismes de $E$ se note ${\mathcal {L}}(E,E)$.

Isomorphisme

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :

$\forall y\in F,!\exists x\in E/f(x)=y$

Autrement dit, tout élément $y$ de $F$ admet un antécédent et un seul dans $E$ par $f$.

Automorphisme

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Forme linéaire

Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps $\mathbb {K}$ (généralement, $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$). Une forme linéaire est donc une application linéaire de ${\mathcal {L}}(E,\mathbb {K} )$.

Noyau et Image d'une application linéaire

Noyau

Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. Le noyau de $f$, noté $\operatorname {Ker} (f)$, est l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image par $f$ est l'élément nul de $F$. On écrit :

$\operatorname {Ker} (f)=\{x\in E|f(x)=0_{F}\}$

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : $\operatorname {Ker} (f)$ est un sev de $E$.

Image

L'image d'une application linéaire $f$ de $E$ dans $F$, noté $\operatorname {Im} (f)$, est l'ensemble des éléments de $F$ ayant un antécédent par $f$ dans $E$. On écrit :

$\operatorname {Im} (f)=\{y\in F,\exists x\in E|f(x)=y\}$

L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : $\operatorname {Im} (f)$ est un sev de $F$.

Théorème du rang

Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :

$\operatorname {dim} (E)=\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} (f))+\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (f)),avec\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (f))=\operatorname {rank} (f)$