Algèbre linéaire/Application linéaire
Définitions modifier
Soit un corps. Soient alors et deux -espaces vectoriels.
Application linéaire modifier
L'application est dite linéaire si et seulement si
et
On note l'ensemble des applications linéaires de vers .
Endomorphisme modifier
Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.
L'ensemble des endomorphismes de se note .
Isomorphisme modifier
Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :
Autrement dit, tout élément de admet un antécédent et un seul dans par .
Automorphisme modifier
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Forme linéaire modifier
Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps (généralement, ou ). Une forme linéaire est donc une application linéaire de .
Noyau et Image d'une application linéaire modifier
Noyau modifier
Soit une application linéaire de dans . Le noyau de , noté , est l'ensemble des éléments de dont l'image par est l'élément nul de . On écrit :
Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : est un sev de .
Image modifier
L'image d'une application linéaire de dans , noté , est l'ensemble des éléments de ayant un antécédent par dans . On écrit :
L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : est un sev de .
Théorème du rang modifier
Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :
