1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente.

La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire :

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}

.

La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini.

Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.

Définition

La série a pour terme général $n$ . Sa n-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire $S n = 1 + 2 + \dots + n$ , égal à $n (n + 1)/2$ . La suite $(S n)$ tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro.

À la différence de son homologue la série alternée des entiers $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ , la série $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$ n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur $-1/12$ ^[1](voir infra).

Sommabilité

Heuristique

Cahier de Ramanujan

Passage du premier cahier de Ramanujan^[2].

Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier^[2]^,^[3]^,^[4]. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.

Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat :

{\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}

La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car bien qu'elle soit divergente, elle ressemble néanmoins au développement en série entière de la fonction 1/(1 + x)² pour x = 1, soit :

-3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}

En divisant les deux côtés par −3, on obtient $c=-{\frac {1}{12}}$ .

La sommation de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donne également −1/12.

Autre approche

Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série. Elle consiste entre autres à abandonner les contraintes de stabilité des méthodes de sommation, ainsi que celles sur les opérations terme à terme entre deux séries.

Soient A, B, S trois sommes distinctes, avec S la somme des entiers naturels (celle qui est recherchée), telles que :

$A=1-1+1-1+1-...$ (série de Grandi)
$B=1-2+3-4+5-...$ (série alternée des entiers)
$S=1+2+3+4+5+...$

Détermination de A

Par définition :

A=1-1+1-1+1-...

.

On remarque qu'en réorganisant les termes de la somme

A=1-1+1-1+1-...=1-(1-1+1-1+1-...)=1-A

.

Donc $A+A=1$ i.e. $2A=1$ ainsi $A={\frac {1}{2}}$ .

Détermination de B

Par définition :

B=1-2+3-4+5-6+7-...

.

On remarque qu'en faisant la différence terme à terme, on a :

{\begin{aligned}B-A&=&1&-2&+3&-4&+5&-6&...&\\&&-1&+1&-1&+1&-1&+1&...&\\&=&0&-1&+2&-3&+4&-5&...&=-B\end{aligned}}

Donc $2B=A={\frac {1}{2}}$ ainsi $B={\frac {\frac {1}{2}}{2}}={\frac {1}{4}}$ .

Détermination de S

Par définition :

S=1+2+3+4+5+...

.

On remarque qu'en faisant la différence terme à terme :

{\begin{aligned}S-B&=&1&+2&+3&+4&+5&+6&...&\\&&-1&+2&-3&+4&-5&+6&...&\\&=&0&+4&+0&+8&+0&+12&...&=4(1+2+3+...)=4S\end{aligned}}

Donc $S-4S=B$ i.e. $-3S=B$ d’où $S=-{\frac {B}{3}}=-{\frac {\frac {1}{4}}{3}}$

Ainsi, on retrouve le résultat attendu :

S=-{\frac {1}{12}}

.

Régularisation zêta

La série peut être sommée par régularisation zêta. Lorsque la partie réelle de s est supérieure à 1, la fonction zêta de Riemann ζ(s) est égale à la somme $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}$ . Cette somme diverge lorsque la partie réelle de s est inférieure ou égale à 1 ; en particulier, la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ qui résulte de s = –1 ne converge pas au sens ordinaire. En revanche, en étendant ζ par prolongement analytique, on trouve $\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$ .

Une façon de calculer ζ(−1) est d'utiliser la relation entre la fonction zêta de Riemann et la fonction êta de Dirichlet. Lorsque les deux séries de Dirichlet convergent, on a les identités :

{\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}

L'identité $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ reste valable lorsque les deux fonctions sont étendues par prolongement analytique pour inclure les valeurs de s où les séries divergent. En substituant $s=-1$ , on obtient $-3\zeta (-1)=\eta (-1)={\frac {1}{4}}$ et donc $\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}$ .

Limites des méthodes de sommation linéaires stables

De nombreuses méthodes de sommations présentées dans l'article Série divergente se basent sur les trois propriétés de stabilité, linéarité et régularité|.

Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels^[5]^,^[6]. Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série $1 + 2 + 3 + \dots$ ne peut respecter simultanément ces trois propriétés.

Physique

En théorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de $D - 2$ oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où $D$ est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est $\omega$ , alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la n-ième harmonique est $n\hbar \omega /2$ . En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est $-\hbar \omega (D-2)/24$ . Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au théorème de Goddard-Thorn (en), qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26^{(Référence nécessaire)}.

Un calcul similaire, faisant usage de la fonction zêta d'Epstein (en) au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la force Casimir^[7].

Notes et références

↑ Hardy 1949, p. 333.
↑ ^2,0 et ^2,1 (en) « Chapitre VIII - page 3 », Ramanujan's Notebooks.
↑ (en) Wazir Hasan Abdi, Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, 1992, p. 41.
↑ (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, 1985, p. 135-136.
↑ « 1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5 », sur youtube.com, 12 septembre 2016 (consulté le 24 mai 2017)
↑ La somme ne peut être calculée avec une méthode à la fois stable et linéaire car $(1+2+3+\dots) - 2*(0+1+2+\dots) + (0+0+1+2+\dots) = 1+0+0+0+\dots = 1$ mais on a aussi $(1+2+3+\dots) - 2*(0+1+2+\dots) + (0+0+1+2+\dots) = (1+2+3+\dots) -2*(1+2+3+\dots) + (1+2+3+\dots) = 0$ donc $1 = 0$
↑ (en) Eberhard Zeidler (de), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, 2007 (ISBN 978-3-54034-7644), p. 305-306.

Voir aussi

Vulgarisation

Jean-Pierre Ramis, « Les séries divergentes », Pour la Science, 350 (Décembre 2006), 132-139.
Jérôme Buzzi, « Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+... = ? », dans Images des mathématiques « la tribune des mathématiciens », 17 février 2014 [texte intégral]

Bibliographie

Leonhard Euler, « Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques », dans Mémoires de l’académie des sciences de Berlin, n^o 17, 1768 [texte intégral]
(en) Bruce C. Berndt, Srinivasa A. Ramanujan et Robert A. Rankin, Ramanujan: Letters and Commentary, AMS, 1995 (ISBN 978-0-82189125-4, lire en ligne)
(en) G. H. Hardy, Divergent Series, Clarendon Press, 1949
Jean-Pierre Ramis, « Poincaré et les développements asymptotiques (Première partie) », dans SMF, Gazette, vol. 133, juillet 2012 [texte intégral [pdf]]
Jean-Pierre Ramis, « Les développements asymptotiques après Poincaré : continuité et… divergences (Deuxième partie) », dans SMF, Gazette, vol. 134, octobre 2012 [texte intégral [pdf]]
(en) James Lepowsky (en), « Vertex operator algebras and the zeta function », dans Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 248), 1999 (w:arXiv}} math/9909178), p. 327-340
(en) A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (en), Princeton UP, 2003 (ISBN 978-0-6911-4034-6), p. 65-66
(en) Barton Zwiebach (en), A First Course in String Theory, Cambridge UP, 2004 (ISBN 9780521831437), p. 293

Articles connexes

Série de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 ... = 1/2)
Série alternée des entiers (1 − 2 + 3 − 4 ... = 1/4)

Liens externes

Article détaillé sur le blog Science étonnante
This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147)
- Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12
- John Baez, « My Favorite Numbers: 24 », 19 septembre 2008

[Hardy1949333-1] Hardy 1949, p. 333.

[ramanujan-2] 2,0 et ^2,1 (en) « Chapitre VIII - page 3 », Ramanujan's Notebooks.

[abdi-3] (en) Wazir Hasan Abdi, Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, 1992, p. 41.

[berndt-4] (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, 1985, p. 135-136.

[5] « 1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5 », sur youtube.com, 12 septembre 2016 (consulté le 24 mai 2017)

[6] La somme ne peut être calculée avec une méthode à la fois stable et linéaire car $(1+2+3+\dots) - 2*(0+1+2+\dots) + (0+0+1+2+\dots) = 1+0+0+0+\dots = 1$ mais on a aussi $(1+2+3+\dots) - 2*(0+1+2+\dots) + (0+0+1+2+\dots) = (1+2+3+\dots) -2*(1+2+3+\dots) + (1+2+3+\dots) = 0$ donc $1 = 0$

[zeidler-7] (en) Eberhard Zeidler (de), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, 2007 (ISBN 978-3-54034-7644), p. 305-306.

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