Électronique numérique : logique/Simplification et implantation de formes conjonctives

Simplification par Karnaugh

Les tableaux de Karnaugh permettent d'obtenir les formes conjonctives simplifiées (appelée aussi parfois forme normale conjonctive) en regroupant des termes (représentés maintenant par des 0). Cette phrase parait banale, mais elle décrit une astuce, à côté de laquelle il ne faut pas passer : si je veux obtenir une forme conjonctive simplifiée, je regroupe les 0 du tableau de Karnaugh.

Principe : Pour obtenir une forme conjonctive simplifiée, je regroupe les 0 du tableau de Karnaugh. Les regroupements se passent exactement comme dans le chapitre précédent et donnent ainsi une forme disjonctive (pas d'erreur c'est bien disjonctif ici !). Et l'astuce continue : puisque j'ai regroupé des 0 alors ce que j'écris sous forme disjonctive est en fait /y.

On peut avoir des regroupements de 2, 4, 8, 16, ...termes. Ces regroupements contiennent toujours une puissance de 2 cases. Pour obtenir la forme somme de produit simplifiée on regroupe les zéros du tableaux de Karnaugh pour obtenir /y. Puis on applique deux fois De Morgan : ${\bar {y}}=a.c+a.{\bar {b}}.{\bar {d}}+{\bar {a}}.b.{\bar {c}}$

soit puisque ${\bar {\bar {y}}}=y$:

$y={\overline {a.c+a.{\bar {b}}.{\bar {d}}+{\bar {a}}.b.{\bar {c}}}}$

J'applique une première fois de Morgan :

$y={\overline {(a.c)}}.{\overline {(a.{\bar {b}}.{\bar {d}})}}.{\overline {({\bar {a}}.b.{\bar {c}})}}$

puis une deuxième fois :

$y=({\bar {a}}+{\bar {c}}).({\bar {a}}+b+d).(a+{\bar {b}}+c)$

Définition

Si pour une raison quelconque une ou plusieurs combinaisons des entrées ne peut arriver, ce qui se passera en sortie n'a aucune importance pour ces combinaisons. On dit que l'on a des cas indéterminés.

Les cas indéterminés sont traités comme dans le chapitre précédent.

Implantation d'une forme conjonctive

Une forme conjonctive, qu'elle soit simplifiée ou non, s'implante de manière naturelle en une structure OU-ET (les OU d'abord pour finir un ET). Cette forme OU-ET conduit directement, en utilisant De Morgan, à un schéma en OU-NON (NOR). Prenons comme exemple la forme simplifiée du tableau de Karnaugh précédent.

Le principe est le suivant : Pour obtenir un schéma en OU-NON (NOR) on part d'une forme conjonctive si possible simplifiée et on fait une schéma en trois couches OU/ET puis on transforme le ET final en OU-NON en faisant glisser les inverseurs de ses entrées.

Le schéma obtenu est alors en trois couches mais utilise des portes à nombre d'entrées illimité.

Si on limite le nombre d'entrées des OU-NON on ne limite alors plus le nombre de couches à trois. On peut partir d'un schéma trois couches et utiliser les équivalences. Elles sont tellement similaires aux équivalences du chapitre précédent qu'elles ne sont pas reproduites ici. De même pour les optimisations.

Remarque : il est préférable et judicieux (attention très subtile) de conserver la représentation fonctionnelle, c'est à dire de garder le symbole ET avec les entrées complémentées pour représenter la porte NOR et non le symbole du OU avec la sortie complétée (qui est une NOR également).

Les théorèmes de De Morgan permettent d'avoir 2 symboles pour une porte NAND et 2 symboles pour une porte NOR. Il faut savoir s'en servir.

De même dans des data book de constructeurs reconnus, ils utilisent la représentation fonctionnelle. Donc, dans le cas de la figure, ce serait un ABien.

Exercice

Pour chacune des équations ci-dessous, trouver la forme disjonctive simplifiée, réaliser la synthèse trois couches avec des portes 0U-NON.

$y_{1}=a.(b+c)$ avec 3 portes

$y_{2}=a.b+{\bar {c}}$ avec 4 portes

$y_{3}={\bar {a}}.b+a.c$ avec 4 portes

$y_{4}={\bar {a}}.b+a.{\bar {b}}$ avec 5 portes

$y_{5}=(({\bar {a}}+b).(a+c)+b.c).(a+b+c)$ avec 4 portes

$y_{6}={\bar {a}}.b.{\bar {c}}+a.{\bar {b}}.c$ avec 7 portes