Électricité et magnétisme/La lumière

L'équation d'onde

En l'absence de charges et de courants les équations de Maxwell sont

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

On en déduit :

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {B} =-{\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E}$

Or $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E}$ (la preuve de cette égalité, à partir des définitions de $\operatorname {rot}$, $\operatorname {grad}$, $\operatorname {div}$ et $\nabla ^{2}$ est donnée à la fin de ce chapitre)

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

et ${\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}=c^{2}$

Donc

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$

où $\nabla ^{2}\mathbf {E} =({\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial z^{2}}})$

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$ est l'équation d'onde. Ses solutions sont des ondes qui se propagent à la vitesse $c$ de la lumière, ou des superpositions de telles ondes.

Les ondes planes

Une onde qui se propage dans tout l'espace est une fonction $f$ de 4 variables, x, y, z et t, 3 coordonnées d'espace et une coordonnée de temps. $f(x,y,z,t)=f(\mathbf {r} ,t)$ est le champ au point $\mathbf {r} =(x,y,z)$

Pour comprendre une onde plane, on peut songer à un mille-feuille dont les feuilles peuvent glisser les unes sur les autres. Une onde peut alors se propager dans la direction perpendiculaire aux feuilles. Si une feuille en mouvement entraine ses deux voisines et est entrainé par elles, un mouvement sur une face du mille-feuille peut se propager jusqu'à l'autre face. Ce mouvement de propagation est une onde plane.

Si la direction de propagation est l'axe des x, les feuilles sont des plans verticaux et le mouvement d'un point ne dépend pas de sa position sur la feuille, il dépend seulement de son abscisse x. Une onde plane peut donc être représentée par une fonction $f(x,t)$ qui dépend seulement d'une coordonnée spatiale x et du temps t. C'est une onde à une dimension, parce qu'elle dépend seulement d'une coordonnée spatiale.

Si de plus les feuilles se déplacent toujours dans la même direction verticale, leur mouvement peut être mesuré par un seul nombre, leur déplacement dans la direction verticale. L'onde plane peut alors être représentée par une fonction $f(x,t)$ dont la valeur est un seul nombre réel. Si le mouvement était plus compliqué, $\mathbf {f} (x,t)$ serait un vecteur.

Soit $g$ une fonction réelle d'une seule variable réelle. $g(x)$ est un nombre réel qui dépend seulement du nombre réel $x$.

$g$ peut représenter n'importe quelle ligne courbe dans un plan qui ne revient jamais en arrière, qui s'étend à l'infini de gauche à droite. De cette façon, pour chaque $x$, il existe un unique point de la ligne dont la coordonnée est $x$. La distance de ce point à l'axe horizontal est $g(x)$.

Soit $f$ la fonction réelle de deux variables réelles, définie par

$f(x,t)=g(x-ct)$

$f$ représente une onde plane qui se propage sans déformation à la vitesse $c$. Le signe de $c$ détermine la direction de propagation. Le mille-feuilles est déformé, par la propagation de l'onde, mais la forme $g$ de cette déformation ne change pas. Elle reste la même sur tout son trajet. Une telle onde peut donc transmettre un message d'un point à un autre, aussi éloigné qu'on le veut. $c$ est la vitesse de propagation du signal.

Une onde électromagnétique est onde de force électrique $\mathbf {E}$ et magnétique $\mathbf {B}$ qui se propage à la vitesse $c$ de la lumière :

L'onde $f$ est une solution de l'équation d'onde ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}f$

Preuve :

Comme $f$ ne dépend ni de y, ni de z,

${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial z}}=0$

Donc

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$

Or

${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)=-c{\frac {\partial g}{\partial x}}(x-ct)$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

On montre de même que

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

Donc ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)$ pour tout x et tout t.

Les ondes électromagnétiques sont-elles mécaniques ?

Un onde mécanique est une onde qui se propage en mettant des masses en mouvement :

Maxwell croyait que les ondes électromagnétiques étaient semblables à des ondes mécaniques qui se propagent dans un milieu matériel, qu'il avait appelé l'éther, et qui était censé remplir tout l'Univers, puisque la lumière se propage partout, et parce que les ondes mécaniques comme le son ne se propagent pas dans le vide.

Lorsqu'une onde est mécanique, son support matériel ne se propage pas. Les masses en mouvement oscillent autour d'une position d'équilibre. Dans un milieu homogène et isotrope, la vitesse de propagation des ondes est la même dans toutes les directions. C'est la vitesse de l'onde par rapport à son support matériel, qu'on mesure lorsqu'on est au repos par rapport à ce support. Si on est en mouvement par rapport au support matériel, la vitesse des ondes n'est pas la même dans toutes les directions.

Si la lumière se propageait dans l'éther, on devrait observer cette dépendance de sa vitesse par rapport à sa direction, parce que nous ne pouvons pas être toujours au repos par rapport à l'éther. On a essayé de l'observer, mais on n'a jamais réussi.

La théorie de la relativité pose en principe que la vitesse de la lumière est toujours la même pour tous les observateurs, quel que soit leur mouvement. C'est absurde d'un point de vue classique parce que les vitesses mesurées par des observateurs en mouvement relatif sont toujours différentes. Einstein a montré qu'il n'y a pourtant pas de contradiction, pourvu qu'on admette que la simultanéité des évènements dépend du mouvement de celui qui les observe. Selon Einstein, le temps n'est pas absolu, parce que la simultanéité des évènements n'est pas absolue, mais relative à l'observateur.

Si la lumière se propageait dans l'éther, la mesure de sa vitesse dépendrait du mouvement de l'observateur par rapport à l'éther. Donc la théorie de la relativité impose que l'éther n'existe pas. La lumière est une onde sans support matériel.

Les ondes électromagnétiques sont des ondes de force électrique et magnétique qui se propagent dans le vide. Elles ne sont pas des ondes mécaniques parce qu'elles peuvent se propager sans mettre de masses en mouvement.

Les ondes monochromatiques

Une onde $A$ est monochromatique de fréquence $f=2\pi \omega$ si et seulement si pour tout $\mathbf {r}$ et tout $t$, $A(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )\operatorname {sin} (\omega t+\phi (\mathbf {r} ))$

$\omega$ est la pulsation.

Une onde sonore monochromatique est un son pur. Plus sa fréquence est élevée plus il est aigu.

Une onde de lumière monochromatique est une couleur pure, une des couleurs de l'arc-en-ciel, mais extrêmement brillante, comme si on pouvait voir l'arc-en-ciel devant le ciel de la nuit. La lumière de basse fréquence est rouge. Si on augmente la fréquence, on atteint le violet, la fréquence la plus élevée, en passant par l'orange, le jaune, le vert et le bleu, dans cet ordre. Au delà du violet, on trouve l'ultraviolet, les rayons X et les rayons $\gamma$. En deçà du rouge, on trouve les infrarouges, les micro-ondes et les ondes radio, dont la fréquence peut être aussi basse qu'on le veut.

La lumière blanche est une superposition de lumières monochromatiques. Un arc-en ciel et un prisme décomposent la lumière blanche et révèlent ainsi son spectre, c'est à dire sa composition en lumières monochromatiques :

Une onde plane monochromatique de pulsation $\omega$ qui se propage à la vitesse $c$ est représentée par une fonction $A$ telle que

$A(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t-kx)$

où $A$ est une constante, $k=2\pi /\lambda$, $\lambda$ est la longueur d'onde.

Les définitions de $c$, $\lambda$, $f$, $\omega$ et $k$ conduisent à

$c=\lambda f=\omega /k$

La superposition des ondes

Si $A$ et $B$ sont deux ondes solutions de l'équation d'onde ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}f$, alors $A+B$ est aussi une onde solution de l'équation d'onde.

Preuve : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, donc ${\frac {\partial ^{2}(A+B)}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2}}}$ et $\nabla ^{2}(A+B)=\nabla ^{2}A+\nabla ^{2}B$.

Les photons sont les particules de la lumière. Les ondes électromagnétiques représentent leurs mouvements. Les photons n'entrent pas en collision. Un objet éclairé peut émettre de la lumière sans en être empêché par la lumière qui l'éclaire, parce que la lumière qui va dans un sens n'est pas gênée par la lumière qui va dans l'autre sens. Les photons peuvent se croiser en s'ignorant, comme si chacun pouvait passer à travers l'autre. La superposition des ondes explique cette indifférence mutuelle des photons. Deux ondes qui se propagent en sens opposés sont superposées à l'endroit de leur rencontre, et cette superposition n'affecte pas leur propagation.

La superposition des ondes est un principe très général avec lequel on explique la plupart des phénomènes, en particulier la décomposition de la lumière blanche, parce qu'elle est une superposition d'ondes monochromatiques.

Pour l’œil humain,il suffit de superposer trois couleurs monochromatiques, rouge, vert et bleu, pour faire une lumière blanche :

Mais cette lumière blanche n'a pas la même composition que celle du Soleil.

Les ondes stationnaires

Une onde $A$ est stationnaire si et seulement si pour tout $\mathbf {r}$ et tout $t$, $A(\mathbf {r} ,t)=f(t)A(\mathbf {r} ))$

Une telle onde ne se propage pas. La forme définie par $A(\mathbf {r} ))$ vibre sur place mais ne se déplace pas.

Les vibrations d'une corde tendue à ses extrémités et de la surface d'un tambour sont des ondes sonores stationnaires.

Les vibrations de l'air enfermé dans une cavité, comme à l'intérieur d'une guitare, sont des ondes sonores stationnaires. Un tube creux peut également accueillir des ondes stationnaires :

Soient $A$ et $B$ deux ondes planes monochromatiques identiques, sauf qu'elles se propagent dans des directions opposées.

$A(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t-kx)$

$B(x,t)=A\operatorname {sin} (\omega t+kx)$

$A+B$ est une onde stationnaire.

Preuve : $\operatorname {sin} (a+b)+\operatorname {sin} (a-b)=2\operatorname {sin} a\operatorname {cos} b$. Donc $(A+B)(x,t)=2A\operatorname {sin} \omega t\operatorname {cos} kx$

Si la lumière est piégée entre deux miroirs parallèles, tous les deux perpendiculaires à sa direction de propagation, elle se réfléchit sur les deux miroirs et se propage donc en même temps dans deux directions opposées. Elle produit ainsi une onde stationnaire. La lumière piégée entre deux miroirs à l'intérieur d'un laser est une onde stationnaire.

La réflexion de la lumière

Les ondes sonores sont des ondes de pression. Tous les corps, solides, liquides ou gazeux, peuvent vibrer. Quand ils vibrent, ils font vibrer les corps voisins. Cette vibration est le son. Quand elle est transmise par l'air à une oreille, elle fait vibrer son tympan, qui est comme la surface d'un tout petit tambour. Cette vibration est transformée par des neurones en signaux électriques qui se propagent jusqu'au cerveau.

Le son est aussi une onde de densité, parce que la pression des corps dépend de leur densité.

Le son est aussi une onde de vitesse, parce qu'en l'absence de mouvement, la densité des corps est constante.

L'écho est la réflexion du son sur une falaise ou sur un mur, de la même façon que la lumière est réfléchie par un miroir.

Un mur mou ne réfléchit pas le son. Plus le mur est dur, mieux il réverbère le son. La réverbération du son est sa réflexion, son rebondissement sur les parois dures.

Une paroi très dure ne vibre pas, ou presque pas. Son champ des vitesses est nul. Il en va de même pour l'air à son contact.

Une onde à la surface de l'eau est réfléchie parce qu'elle doit rester horizontale, perpendiculaire à la paroi qui la réfléchit. Donc sa pente y est égale à zéro.

Si un miroir est métallique, le champ électrique parallèle à sa surface est nul, ou presque nul, parce que les charges électriques sont mobiles, elles se déplacent en permanence de façon à annuler les forces électriques qui les déplacent. Un miroir métallique se comporte vis à vis de la lumière comme une paroi dure vis à vis des ondes sonores, parce qu'il annule le champ électrique parallèle à sa surface.

Soit une onde plane $f$ qui se propage sans déformation vers la droite (les x croissants) émise en un point situé en $x=-a$ en direction d'une paroi réfléchissante située en $x=0$. $f$ est déterminée par son mouvement en $x=-a$, qui peut être la source émettrice de l'onde.

$f(x,t)=g(x-ct)=f(-a,t-(a+x)/c)$ parce que $-a-c(t-(a+x)/c)=x-ct$

On cherche une solution $F$ de l'équation d'onde telle que $F(0,t)=0$ pour tout t, puisque le champ doit s'annuler sur la paroi réfléchissante.

$F(x,t)=f(x,t)-f(-x,t)=g(x-ct)-g(-(x+ct))$

Par définition de $F$, $F(0,t)=0$ pour tout $t$.

$F$ est la superposition de deux ondes symétriques l'une de l'autre. L'une est la réflexion de l'opposé de l'autre par rapport à la paroi réfléchissante. Les deux ondes $g(x-ct)$ et $-g(-(x+ct))$ se propagent dans des directions opposées. L'onde $-g(-(x+ct))$ pourrait être émise par un point en $x=a$ qui a un mouvement opposé à celui de l'émetteur initial :

$-g(-(a+ct))=-g(-a-ct)$

Tout se passe comme si la paroi réfléchissante produisait une onde émise par un corps exactement symétrique du corps émetteur de l'onde initiale. C'est l'effet miroir. On voit dans un miroir comme si les corps devant lui étaient présents derrière lui.

L'électromagnétisme explique donc pourquoi les surfaces métalliques sont toujours brillantes et réfléchissantes.

Les surfaces rugueuses réfléchissent elles aussi la lumière, sauf si elles sont noires et parfaitement absorbantes. Mais elles ne font pas l'effet d'un miroir :

L’œil et la formation des images

Pour qu'une image se forme, il suffit que chaque point sur le plan image reçoive la lumière émise par un seul point de l'objet. Plus la source de lumière qui éclaire un point de l'image est large, plus l'image est floue.

On peut voir une image sur un mur blanc dans une chambre obscure si on laisse passer la lumière par un petit trou percé à travers les volets. On peut voir ainsi la façade ensoleillée en face se projeter à l'envers sur un mur ou sur une feuille blanche. Chaque point du mur reçoit de la lumière d'un seul point de la façade si le trou est très petit. Si le trou est large l'image est floue.

Une interface courbe entre deux matériaux transparents a la propriété de faire converger, ou diverger, la lumière qui la traverse.

Des images se forment au fond de l’œil, à l'envers, parce que la lumière issue d'un point d'un objet converge vers un seul point au fond de l’œil.

On explique la propagation de la lumière dans les matériaux transparents avec les équations de Maxwell. La formation des images est donc elle aussi une conséquence des équations de Maxwell.

La réfraction de la lumière

La réfraction de la lumière explique pourquoi un bâton semble cassé par la surface de l'eau et pourquoi les lentilles peuvent faire converger ou diverger les ondes de lumière.

La réfraction est expliquée par la différence de vitesse de propagation de la lumière entre deux matériaux transparents. La lumière est toujours moins rapide dans les matériaux transparents que dans le vide, 300 000 km/s. Dans l'air ce ralentissement est très faible, mais dans l'eau sa vitesse est presque de 215 000 km/s, et dans le diamant elle descend jusqu'à 125 000 km/s.

Lorsque la direction de propagation de la lumière est perpendiculaire à la surface entre les deux matériaux qu'elle traverse, elle n'est pas modifiée :

Mais la lumière est d'autant plus déviée que sa direction initiale de propagation s'écarte de la perpendiculaire à la surface :

Si on a la tête sous l'eau et si on regarde le bord de la piscine, les êtres semblent être plus loin que ce qu'ils sont en réalité :

Inversement, si on est dans l'air, et si on regarde des êtres sous l'eau, ils semblent être plus près que ce qu'ils sont en réalité. C'est pourquoi les bâtons semblent cassés par la surface de l'eau :

On voit sur cette photographie que le pinceau est cassé par la surface de l'eau et qu'il est agrandi par la surface courbe du verre, comme si elle était une loupe.

La lumière obéit toujours au principe de Fermat : le trajet suivi par la lumière est toujours le plus bref parmi tous les trajets possibles.

Une maitre-nageuse est sur une plage. Si la personne qu'elle doit sauver de la noyade est en face d'elle, elle choisit le chemin le plus court, qui est en ligne droite, perpendiculaire à la ligne de la plage. Si le futur sauvé n'est pas en face d'elle, elle ne doit pas aller en ligne droite, parce qu'elle court plus vite sur la plage qu'elle nage dans l'eau. Elle doit donc choisir comme trajectoire une ligne brisée, d'abord courir sur la plage pour être presque en face du futur sauvé, puis nager. La lumière fait pareil, quand elle passe de l'air dans l'eau.

L'intelligence est de choisir le meilleur parmi les possibles, ou au moins le satisfaisant. La lumière choisit toujours le chemin le plus bref, parce qu'il n'y a pas de temps à perdre.

La diminution de vitesse de la lumière dans un matériau transparent dépend de sa couleur. C'est pourquoi un prisme transparent décompose la lumière blanche qui le traverse. On explique de la même façon la formation d'un arc-en-ciel :

La lumière est d'abord réfractée lorsqu'elle entre dans la goutte d'eau, puis réfléchie sur la face arrière de la goutte, puis réfractée à nouveau lorsqu'elle sort.

On explique le ralentissement de la lumière dans l'eau et les autres matériaux transparents avec les équations de Maxwell et de Lorentz. Quand un matériau est traversé par la lumière, ses charges se mettent en mouvement et deviennent elles-mêmes des sources émettrices de lumière. La superposition de l'onde incidente et des ondes induites est la cause de la diminution de la vitesse de l'onde résultante, donc de la réfraction de la lumière.

Les interférences

Une des conséquences les plus étonnantes du principe de superposition est que la lumière plus la lumière peut être égale à l'obscurité :

L'énergie de la lumière qu'on observe est proportionnelle à $\mathbf {E} ^{2}$, le carré scalaire du champ électrique qu'elle propage. Si deux sources de lumière produisent des champs électriques égaux et opposés, leur superposition produit un champ nul, sans énergie, donc une absence de lumière, l'obscurité.

Dans l'expérience des fentes de Young, deux fentes laissent passer la lumière. Si on observe la lumière sur un écran qui la reçoit, on voit une alternance de franges sombres et brillantes, alors les parties sombres sont éclairées par les deux fentes comme les parties brillantes :

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Young a compris en 1803 que des ondes en sens opposés s’annulent alors qu'elles s'ajoutent lorsqu'elles ont le même sens :

La polarisation de la lumière

Les lunettes de Soleil ont parfois des verres polariseurs :

La lumière est polarisée linéairement lorsqu'elle a une direction perpendiculaire à sa direction de propagation. Un polariseur est un filtre qui arrête la lumière polarisée dans une direction et la laisse passer si elle est polarisée dans la direction perpendiculaire.

La polarisation circulaire est une superposition de deux ondes polarisées linéairement :

Lorsque la lumière est polarisée circulairement, elle a un sens de rotation autour de sa direction de propagation. Pour la physique quantique, la polarisation de la lumière est le spin des photons. Les photons ont un spin veut dire qu'ils ont une inertie de rotation, comme des toupies. L'inertie de rotation est ce qui fait qu'un corps conserve le même axe et la même vitesse de rotation. C'est elle qui maintient en équilibre les bicyclettes en mouvement. Les bicyclettes à l'arrêt n'ont pas cet équilibre, parce que leurs roues ne tournent pas.

La lumière du Soleil ou des matériaux émetteurs de lumière par incandescence n'est pas polarisée. Mais la lumière du ciel est polarisée. La lumière obtenue par réflexion sur un miroir, sur l'eau ou sur un verre peut être elle aussi polarisée.

Pour voir si la lumière est polarisée, il suffit de la regarder à travers un verre polariseur qu'on fait tourner autour d'un axe perpendiculaire à sa surface :

Ces deux photographies ont été prises avec un filtre polariseur qu'on a fait tourner de 90° entre l'image de gauche et celle de droite.

Quand on met un matériau sous contrainte, il se comporte en général comme un polariseur. Cet effet de polarisation révèle la contrainte :

Si on place un cristal entre deux polariseurs croisés qu'on fait tourner, on peut obtenir de très beaux effets, parce que les cristaux biréfringents se comportent comme des polariseurs :

Les équations de Maxwell montrent que la direction de la lumière polarisée linéairement est la direction du champ électrique $\mathbf {E}$.

$\mathbf {E}$ et $\mathbf {B}$ sont toujours perpendiculaires à la direction de propagation d'une onde électromagnétique.

Preuve pour une onde plane : les dérivées partielles par rapport y et à z sont nulles, puisque le champ ne dépend ni de y, ni de z. D'après la quatrième équation de Maxwell, la composante $E_{x}$ dans la direction de propagation du champ électrique $\mathbf {E}$ est telle que ${\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-c^{2}({\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}})=0$. Puisque $E_{x}$ ne peut pas varier au cours du temps, il ne peut pas propager une onde. Il est donc nul pour une onde qui se propage. Le même argument vaut pour $B_{x}$ à partir de la troisième équation de Maxwell.

Que la lumière soit

Les équations de Maxwell et Lorentz prédisent l'existence de la lumière et de toutes ses propriétés : sa propagation, ses couleurs, ses ondes stationnaires, sa réflexion, pourquoi elle forme des images, sa réfraction, ses interférences et sa polarisation. Elles permettent d'étudier la plupart des propriétés de la matière (sauf sa radioactivité, qui est d'origine nucléaire, et sa pesanteur) et ses interactions avec la lumière.

Le champ électromagnétique a une existence autonome. Une fois que des charges électriques accélérées ont produit de la lumière, celle-ci se propage d'elle-même, et les charges qui l'ont produite ne peuvent plus l'arrêter.

En donnant les équations de Maxwell (ou la loi de Coulomb et la géométrie relativiste de l'espace-temps) Dieu a donné les lois qui font que la lumière peut exister, que nous pouvons la voir et que nous pouvoir voir le monde grâce à elles. Dieu a dit « Que la lumière soit » en donnant les lois de l'électromagnétisme, les équations de Maxwell et de Lorentz.

L'opérateur nabla

Le gradient d'un champ scalaire, la divergence et le rotationnel d'un champ vectoriel sont les trois opérateurs fondamentaux avec lesquels les physiciens font la plupart de leurs calculs, tout particulièrement en électrodynamique et en dynamique des fluides. Ils peuvent tous les trois être écrits avec l'opérateur nabla $\nabla$ :

$\nabla =({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})$

$\operatorname {grad} A=\nabla A=({\frac {\partial A}{\partial x}},{\frac {\partial A}{\partial y}},{\frac {\partial A}{\partial z}})$

$\operatorname {div} \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} =({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})$

$\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

$\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A}$ peut donc être écrit :

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$

Preuve de $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$ :

$(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))_{x}={\frac {\partial }{\partial y}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})-{\frac {\partial }{\partial z}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})$

$={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}})-({\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})A_{x}$

$={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}})-({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})A_{x}$

$=(\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} )_{x}$

Le calcul est semblable pour les deux autres composantes.