Photographie/Photométrie/Notion d'étendue géométrique

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Considérons une source lumineuse Σ et un récepteur S, tous deux étendus et non ponctuels, séparés par un milieu parfaitement transparent. Pour étudier la transmission de la lumière entre ces deux surfaces il faut étudier la contribution de chaque point de Σ à l'éclairement de chaque point de S.

Nous appellerons :

• dΣ et dS deux éléments de surface infiniment petits, assimilés à des portions de plan et appartenant respectivement à Σ et S
• F le flux émis par Σ et capté par S
• dF le flux émis par dΣ et capté par S
• d²F le flux émis par dΣ et capté par dS
• N_Σ et N_S les normales à dΣ et dS
• α_Σ et α_S les angles de la direction de propagation N_Σ et N_S
• dΩ_Σ et dΩ_S les angles solides sous lesquels chaque élément de surface est vu depuis le centre de l'autre
• d la distance des deux surfaces élémentaires dΣ et dS.

En s'appuyant sur la définition de l'angle solide : $\mathrm d\Omega_\Sigma = \frac{\mathrm dS \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2}$ et $\mathrm d\Omega_S = \frac{\mathrm d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma}}{d^2}$.

Par définition, l'étendue géométrique du faisceau lumineux qui « relie » les deux surfaces élémentaires est la quantité :

$\mathrm{d^2}G = \mathrm d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot \mathrm d\Omega_\Sigma = \frac{\mathrm d\Sigma \cdot \mathrm dS \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2} = \mathrm dS \cdot \cos{\alpha_S} \cdot \mathrm d\Omega_S.$

On peut montrer que la luminance du faisceau lumineux qui va de dΣ à dS s'écrit :

$L = \frac{\mathrm{d^2}F}{\mathrm{d^2}G}$

La notion d'étendue géométrique est extrêmement féconde dans l'étude de nombreux systèmes optiques. Elle a la propriété intéressante d'être un invariant optique : on peut la calculer en intégrant sur la surface de la source ou sur celle du récepteur et on obtient le même résultat. On peut aussi choisir une surface de référence quelconque située entre la source et le récepteur et on obtient toujours le même résultat. De plus, la traversée d'un système optique non diffusif (lentilles et/ou miroirs) ne modifie pas l'étendue géométrique d'un fasceau, sauf pour la partie de celui-ci qui pourraît être bloqué par un diaphragme.

L'étendue est en revanche augmentée lorsque la lumière est diffusée, par exemple en étant réfléchie par une surface mate.

Application à l'appareil photographique

On peut définir l'étendue géométrique d'un appareil photographique comme celle de l'ensemble des rayons de lumière qui participent à la formation de l'image. L'étendue ainsi définie dépend à la fois de l'objectif, de l'ouverture du diaphragme, et des dimensions de la surface sensible. Elle permet de calculer le flux lumineux collectée par l'appareil grâce à la relation

$F = G \tau L.$

où G est l'étendue, $\tau$ le coefficient de transmission de l'objectif et L la luminance moyenne de la scène photographiée. Cette relation montre que $G \tau$ peut être interprété comme la capacité de l'appareil à collecter de la lumière. En pratique, $\tau$ est rarement très différent de 1, et on peut sans grand dommage omettre ce facteur. En anglais on rencontre fréquemment l'expression « light gathering power » qui est souvent mal définie mais parfois définie clairement comme synonyme de l'étendue géométrique.

Le fait que l'objectif laisse l'étendue invariante permet de calculer celle-ci à la fois dans l'espace objet et dans l'espace image.

Étendue dans l'espace objet

Dans l'espace objet, on intègre sur la surface de la pupille d'entrée et sur toutes les directions des rayons incidents. En appliquant l'approximation des petits angles (omission des cosinus) on obtient :

$G = S_p \Omega_c,$

où $S_p$ est la surface de la pupille d'entrée et $\Omega_c$ l'angle de champ, entendu comme un angle solide.

Cette relation admet une interprétation très simple : la capacité de l'appareil à collecter de la lumière est d'autant plus grande que « l'œil » de l'appareil est gros (c'est le facteur $S_p$) et qu'il voit large ($\Omega_c$).

Étendue dans l'espace image

On la calcule en intégrant sur la surface sensible et sur les directions des rayons frappant celle-ci. En négligeant le vignettage et en supposant la mise au point suffisamment lointaine, on obtient :

$G = S_i \frac{\pi}{4 n^2},$

où $S_i$ est la surface de l'image (le capteur numérique ou le film) et $n$ le nombre d'ouverture. Le deuxième facteur, proportionnel à $\tfrac{1}{n^2}$, est la dépendance bien connue de la luminosité par rapport au nombre d'ouverture. Le premier facteur justifie un fait bien connu des utilisateurs de réflex numériques : les appareils à gros capteur ont un meilleur comportement en très basse lumière (haute sensibilité) que les appareils à petit capteur. C'est dû simplement au fait que les premiers arrivent à collecter plus de lumière.

Il est intéressant de remarquer que ces deux formules, calculées respectivement dans l'espace objet et dans l'espace image, sont équivalentes. On peut utiliser au choix l'une ou l'autre. Ceci signifie que :

• si on connaît le diamètre de la pupille d'entrée et l'angle de champ, on n'a pas besoin de la taille du capteur ni de l'ouverture de l'objectif ;
• réciproquement, si on connaît la taille du capteur et l'ouverture de l'objectif, on n'a pas besoin de la pupille d'entrée ni de l'angle de champ.

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