Analyse/Séries

Introduction

Définition

• On appelle série de terme général $u_{n}$ la suite $(S_{n})$ définie par : $S_{n}=\Sigma _{i=0}^{n}u_{i}$ où $u_{i}$ est une suite de nombres réels.
• On dit qu'une série converge si la suite $(S_{n})$ admet une limite S.
• Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

Exemple

$u_{n}=(-1)^{n}$
$S_{n}=1+(-1)+1+(-1)+...+(-1)^{n}$

• $S_{0}=1$
• $S_{1}=0$
• $S_{2}=1$
• $S_{3}=0$
• ...

Pour n pair, $S_{n}$ vaut 1, pour n impair, $S_{n}$ vaut 0. La série n'a pas de limite. La série $\Sigma (-1)^{n}$ est donc divergente.

Convergence

Condition nécessaire

Si une série de terme général $u_{n}$ converge, alors $u_{n}$ a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.

C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : $u_{n}=1/n$.

En effet $S_{n}=1+1/2+...+1/n$

et $S_{2n}=1+1/2+...+1/n+...+1/2n$.

D'où $S_{2n}-S_{n}=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n>n/2n$

et $S_{2n}-S_{n}>1/2$

Supposons que la série converge, alors $S_{n}$ et $S_{2n}$ admettent une même limite S et $S_{2n}-S_{n}=0$ lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec $S_{2n}-S_{n}>1/2$, donc la série diverge.