Algèbre linéaire/Espace Vectoriel

Définition d'un espace vectoriel

$K$ représente le corps des réels ou des complexes. ($\mathrm {K} =\mathbb {R} \quad ou\quad \mathrm {K} =\mathbb {C}$)

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée $+$ et d'une loi externe $K\times E\rightarrow E$ notée $\cdot$

Il existe 10 Axiomes pour définir un $\mathrm {K}$-e.v ($K$-espace vectoriel) :

${\begin{array}{lcl}+:\quad E\times E\qquad \rightarrow \qquad E\\\qquad (u_{1},u_{2})\qquad \rightarrow \qquad u_{1}+u_{2}\end{array}}$$\qquad$et$\qquad$${\begin{array}{lcl}\centerdot \quad :\quad \mathrm {K} \times E\qquad \rightarrow \qquad E\\\quad \qquad (\lambda ,u_{2})\qquad \rightarrow \qquad \lambda \cdot u_{2}\end{array}}$

$\qquad$$\qquad$$\qquad$( Loi Interne)$\qquad$$\qquad$$\qquad$$\qquad$$\qquad$$\qquad$$\qquad$$\qquad$(Loi Externe)

1. $\forall (u_{1},u_{2})\in E^{2}:u_{1}+u_{2}=u_{2}+u_{1}$.
2. $\forall (u_{1},u_{2},u_{3})\in E^{3}:u_{1}+(u_{2}+u_{3})=(u_{1}+u_{2})+u_{3}$.
3. $E$ admet un élément neutre $0_{E}\in E$ , c'est-à-dire $\forall u\in E,u+0_{E}=u$.
4. Tout élément $u\in E$ admet un symétrique $u'$ tel que $u+u'=0_{E}$. On note $u'=-u$.
5. $\forall u\in E:1\cdot u=u$
6. $\forall (\lambda ,\mu )\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:\lambda \cdot (\mu \cdot u)=(\lambda \cdot \mu )\cdot u$
7. $\forall \lambda ,\in \mathrm {K} ,\forall (u_{1},u_{2})\in E^{2}:\lambda \cdot (u_{1}+u_{2})=\lambda \cdot u_{1}+\lambda \cdot u_{2}$
8. ${\displaystyle \forall (\lambda ,\mu ),\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:(\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u}$